试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
江苏省通州高级中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（???）
A． B． C． D．
3．已知，，则在上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
4．已知单位向量的夹角为，为实数，则“向量与向量的夹角为锐角”是“”的（????）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
5．（???）
A．2 B．4 C． D．
6．已知向量满足，则（）
A． B． C． D．
7．设、、为非零向量，若，则的最大值与最小值的差为（????）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．设向量，满足，则以，，为边长的三角形面积最大值为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．已知，则以下说法正确的是（???）
A． B． C． D．
10．已知向量，则下列命题正确的是（????）
A．存在，使得 B．当时，与垂直
C．对任意，都有 D．当时，
11．已知平面向量满足，则下列结论正确的是（????）
A． B．与的夹角为
C． D．的最大值为
三、填空题
12．已知，且，则.
13．如图，AB为半圆的直径，点C为的中点，点M为线段AB上的一动点（含端点A，B）．若，则的取值范围是．
14．在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为.
四、解答题
15．已知、均为锐角，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
16．如图所示，在中，，，点在线段BC上，且．求：
(1)AD的长；
(2)的大小．
17．如图，在平面直角坐标系中，以轴非负半轴为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点，已知点的坐标为．
(1)若，求点的坐标；
(2)若，求．
18．人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，，则曼哈顿距离为：，余弦相似度为：，余弦距离为
(1)若，，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，、，，若，，求M、P之间的曼哈顿距离.
19．已知扇形半径为1，，弧上的点满足.
(1)求的最大值；
(2)求最小值.
答案第=page11页，共=sectionpages22页
答案第=page11页，共=sectionpages22页
《江苏省通州高级中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性测试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
A
B
B
D
D
A
ABD
BD
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】利用两角和的余弦与切化弦可求得，进而利用两角差的余弦公式可求值.
【详解】因为，，
所以，
解得，
因此.
故选：A.
2．B
【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：
??????????????
因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，
则，
由得，可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
3．A
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故选：A
4．B
【分析】法一：根据单位向量与垂直向量的数量积表示，利用数量积的运算律以及夹角为锐角的数量积表示，同时注意排除向量共线的情况，结合充分不必要条件，可得答案；法二：由题意设出向量的坐标，根据数量积的坐标表示，结合充分不必要条件，可得答案.
【详解】法一：
由单位向量的夹角为，可得，．
若向量与向量的夹角为锐角，
则且向量与向量不共线．
由，得；
由向量与向量不共线，得，即．
所以由向量与向量的夹角为锐角，得且．
易知由，则向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.
综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必要条件．
法二：
因为单位向量的夹角为，所以不妨令，，
则，．因为向量与向量的夹角为锐角，
所以，且，得且．
当时，可得，
此时向量与向量的夹角大于等于零且小于九十度.
综上可得“向量与向量的夹角为锐角”是“”的充分不必