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山西省太原市第五中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在等差数列中，，，则的公差为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数在点处的切线方程是（????）
A． B．
C． D．
3．二项式的展开式中的常数项为（????）
A．480 B．240 C．120 D．15
4．某学校开设了6门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这10门课中选修3门课进行学习，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案种数是（????）
A．96 B．116 C．120 D．192
5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（???）
A． B．4 C．3 D．－3
6．已知函数为极大值点，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
7．设等差数列的前项和为，公差为，若，，则下列结论不正确的是（????）
A． B．当时，取得最大值
C． D．使得成立的最大自然数是15
8．若函数，且，则正实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知3名男生和2名女生参加两项不同的公益活动，下列说法正确的是（????）
A．活动前5人站成一排，甲在最左边，乙不在最右边，有18种不同的方法
B．5人依次进行自我介绍，甲和乙不相邻做介绍，有72种不同的方法
C．将5人全部分配到两项活动中，每项活动既有男生又有女生，有24种不同的方法
D．活动后从5人中选出3人介绍活动体会，至少两名男生，有9种不同的方法
10．已知数列的通项公式为，的前项和为，则下列说法正确的是（????）
A． B．数列是公差为4的等差数列
C． D．数列的最大项为2
11．已知函数，下列结论正确的是（????）
A．当时，是的极大值点
B．存在实数，使得成立
C．若在区间上单调递减，则的取值范围是
D．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
三、填空题
12．已知正项等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，且，则.
13．若方程有且仅有一个实数，则实数的取值范围为.
14．已知数列{an}满足,且其前62项的和为1885，则．
四、解答题
15．已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)求函数在上的值域．
16．已知是等差数列，是各项都为正数的等比数列，且，，，．
(1)求，的通项公式；
(2)已知数列的前n项和为，且．
①证明：数列是等比数列；
②设数列满足，求的前n项和．
17．已知函数，．
(1)当时，求证：；
(2)设函数，讨论函数的单调区间．
18．人教A版选择性必修二第8页中提到：设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数n且与n互素的正整数的个数，例如，．
(1)求，，的值；
(2)数列的通项公式为，设该数列的前n项和为，是否存在整数m，使对任意正整数n都成立？若存在，求m的最小值；若不存在，请说明理由．
19．已知函数（，，e为自然对数的底数），若对于恒成立．
(1)求实数a的值；
(2)证明：存在唯一极大值点，且．
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《山西省太原市第五中学校2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
B
A
D
C
D
C
AB
BC
题号
11
答案
ABD
1．B
【分析】利用等差中项结合条件计算即可.
【详解】由题可知，得，，得，
所以的公差.
故选：B
2．A
【分析】对求导，得到，从而有，再利用导数的几何意义，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
所以在点处的切线方程是，即，
故选：A.
3．B
【分析】运用通项公式计算即可.
【详解】因为得到常数项，则．.
故选:B．
4．A
【分析】利用排列组合知识，结合分类加法计数原理求解．
【详解】由题意可知，选课方案分2类：
①选1门体育类选修课和2门艺术类选修课，有种方案，
②选2门体育类选修课和1门艺术类选修课，有种方案，
所以不同的选课方案种数是种．
故选：A．
5．D
【分析】先利用导数得其单调性，进而得出极值点，是方程的两根，再利用韦达定理以及等比数列的性质、等比数列中奇数项的符号