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上海市杨浦区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知全集，集合，则.
2．函数y＝的定义域为．
3．已知扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长是.
4．已知一元二次方程的两个实数根分别为，且，则实数的值为.
5．已知函数，则函数的最小值为.
6．函数的图像过定点.
7．已知函数，则关于的方程的解为.
8．已知，则．
9．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为.
10．函数的部分图象如图，则该函数的单调增区间为.
11．下列函数的最小正周期是的序号是.
①；②；③；
④；⑤.
12．若常数，则关于的方程的实数根的个数是.
二、单选题
13．“”是“”的（???）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
14．若，则下列不等式一定成立的是（????）
A． B．
C． D．
15．生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中，分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数越大，水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由2提高到3，则（???）
A． B． C． D．
16．已知狄利克雷函数，符号函数，这两个函数在数学和计算机等领域中有着广泛的应用.有以下两个结论:
①函数是奇函数且该函数在区间上的有理数零点恰有3个；
②函数既是偶函数，又是增函数.那么(?????).
A．①正确②错误 B．①错误②正确
C．①正确②正确 D．①错误②错误
三、解答题
17．已知集合，集合.
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围.
18．已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
(1)求角的值；
(2)求的值．
19．已知函数，其中.
(1)求证：该函数是偶函数而不是奇函数；
(2)若，求的值.
20．上海市工程建设规范《口袋公园设计标准》自2025年5月1日起实施.杨浦区拟在一圆心角为直角的扇形厂区旧址边新建一座口袋公园.如图，矩形地块中，，.折线是人行道路，规划道路一侧为旧厂区改造的购物中心，另一侧四边形地块为具有游憩功能的口袋公园.的两端分别在边上，施工要求道路(不考虑路宽)与圆弧相切，记切点为，记为(计算长度精确到)
??
(1)若，求的长；
(2)记，求人行道路长度的最小值.
21．若函数和均存在零点，且零点完全相同，则称和是一对“共零函数”.
(1)判断与是否为“共零函数”，并说明理由；
(2)已知与是一对“共零函数”，求的值；
(3)已知是实数，若函数与是一对“共零函数”，函数与也是一对“共零函数”，求的值.
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《上海市杨浦区2024-2025学年高一下学期期中调研数学试卷》参考答案
题号
13
14
15
16
答案
A
C
D
A
1．
【分析】利用集合补集的概念直接求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：.
2．
【分析】由函数的解析式和偶次根号下被开方数大于等于0，列出不等式求出x即可．
【详解】解：若函数有意义，则，
解得，
故函数的定义域为．
故答案为：．
3．
【分析】根据弧长公式直接计算即可.
【详解】扇形的圆心角为，半径为1，
所以扇形的弧长为.
故答案为：.
4．
【分析】利用根与系数的关系求解即可.
【详解】一元二次方程的两个实数根分别为，
所以，又，所以，解得.
故答案为：.
5．
【分析】利用正切函数单调性求出最小值.
【详解】在上单调递增，
故当时，函数取得最小值为.
故答案为：
6．
【分析】利用对数运算性质，即可得到定点.
【详解】令，则，
所以函数图象过定点，
故答案为：.
7．
【分析】根据函数解析式代入运算得解.
【详解】由，可得，即，解得.
所以方程的解为.
故答案为：.
8．
【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算.
【详解】，则.
故答案为：.
9．
【分析】根据绝对值三角不等式可得，即可得求解，
【详解】由于，故，即，
当且仅当等号成立