无锡市第一中学2023—2024学年度第二学期期末考试
高一数学
2024.6
命题：高二数学组审核：高二数学组
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1.若样本数据，，…，的方差为3，则，，…，的方差为（）
A.3 B.5 C.6 D.12
2.已知复数，其中为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为（）
A. B. C. D.
3.圆台的上、下底面半径分别是1和5，且圆台的母线长为5，则该圆台的表面积是（）
A. B. C. D.
4.已知平面向量，满足，与的夹角为120°，若，则等于（）
A．2 B． C．4 D．
5.已知，是两个不重合的平面，，是两条不同的直线，则下列命题正确的是（）
A.若，，，则 B若，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
6.如图，曲柄连杆机构中，曲柄绕C点旋转时，通过连杆的传递，活塞做直线往复运动.当曲柄在位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点在处.设连杆长，曲柄CB长，则曲柄自按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离（即连杆的端点移动的距离）约为（）
（结果保留整数）（参考数据：）
A． B． C． D．
7.设点是所在平面内一点：①若，则点是边的中点；②若，则点在边的延长线上；③若，且，则是面积的一半；④若，则直线一定过的内心．
则上述说法正确的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知互不相同的20个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，设剩下的18个样本数据的方差为，平均数为；去掉的两个数据的方差为，平均数为；原样本数据的方差为，平均数为，若，则下列选项错误的是（）公众号：试卷共享圈公众号：好未来资料
A．
B.剩下的18个样本数据与原样本数据的中位数不变
C．
D．剩下18个数据的22%分位数大于原样本数据的22%分位数
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
9.新式茶饮是指以上等茶叶的萃取浓缩液为底，再根据消费者偏好，添加牛奶、坚果、柠檬等小料调制而成的饮料．如图为2023年我国消费者购买新式茶饮的频次扇形图及月均消费新式茶饮金额的条形图．根据所给统计图，下列结论中正确的是（）
A．每天都消费新式茶饮的消费者占比超过20%
B．每周都消费新式茶饮的消费者占比不到90%
C．月均消费新式茶饮50～200元的消费者占比超过50%
D．月均消费新式茶饮超过100元的消费者占比超过60%
10.甲、乙两个口袋中装有除了编号不同以外其余完全相同的号签．其中，甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各抽取1个号签，从甲、乙两袋抽取号签的过程互不影响．记事件：从甲袋中抽取号签1；事件：从乙袋中抽取号签6；事件：抽取的两个号签和为3；事件：抽取的两个号签编号不同．则下列选项中，正确的是（）
A． B．事件与互斥
C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立
11．如图，正方形棱长为1，是线段上的一个动点（含端点），则下列结论正确的是（）
A．的最小值为
B．当在线段上运动时，三棱锥的体积不变
C．的最小值为
D．以点为球心，为半径的球面与面的交线长为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.如图，已知直三棱柱底面的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，若该直三棱柱的侧棱长为4，则该直三棱柱的体积为______．
13.已知向量，且，则在上的投影向量的坐标为______．
14.2023年亚运会在中国杭州举办，开幕式门票与其他赛事门票在网上开始预定，亚奥理事会规定：开幕式门票分为，两档，当预定档未成功时，系统自动进入档预定，已知获得档门票的概率是，若未成功，仍有的概率获得档门票；而成功获得其他赛事门票的概率均为，且获得每张门票之间互不影响．甲想要一张开幕式门票（、档皆可），他预定了一张档开幕式门票，一张赛事门票；乙预定了两张赛事门票．则甲获得的门票数比乙多的概率为______．
四、解答题（本题共5题，共77分）
15.（12分）已知复数，，，为虚数单位．
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若，求．
16.（12分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点（含端点）.
（1）若，求，的夹角的余弦值；公众号：试卷共享圈公众号：好未来资料
（2）求的取值范围.
17.（17分）某公司生产某种产品，从生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差（质量差＝生产的产品质量－标准质量，单位）的样本数据统计如下：
（1）求样本数据的70%分位数；（精确到0.01）
（2）公司从生产的正品中按产品质量差进行分拣，若质量差在范围内的产品为一等品，其余为二等品．其中，分别为样本平均数和样本标准