2020-2021郑州市高一数学下期中试卷(含答案)
一、选择题
1．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为（）
A． B． C． D．
2．已知三棱锥的外接球的表面积为，，则三棱锥体积的最大值为（）
A． B． C． D．
3．一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是（）．
A．满足条件的截面不存在 B．截面是一个梯形
C．截面是一个菱形 D．截面是一个三角形
4．如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为()
A． B．
C． D．
5．下列命题正确的是（）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D．四边形确定一个平面
6．直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
7．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A． B． C． D．
8．已知三条直线，三个平面，下列四个命题中，正确的是（）
A． B．
C． D．
9．点A、B、C、D在同一个球的球面上，AB=BC=，AC=2，若四面体ABCD体积的最大值为，则这个球的表面积为（）
A． B． C． D．
10．在长方体中，，点在线段上运动，当异面直线与所成的角最大时，则三棱锥的体积为（）
A． B． C． D．
11．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．B．C．D．
12．某几何体的三视图如图所示（单位：），其俯视图为等边三角形，则该几何体的体积（单位：）是（）
A． B． C． D．
二、填空题
13．设，，，是球表面上的四个点，，，两两垂直，且，则球的表面积为____________.
14．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为.
15．正方体的棱长为1，为上的动点，为上的动点，则线段的长度的最小值为______.
16．已知直线与圆O：交于M，N两点，则线段MN中点G的轨迹方程为______．
17．三棱锥中，，，，，则该三棱锥的外接球面积为________.
18．在棱长为的正方体中，是的中点，直线与平面交于点，则线段的长度为________
19．已知垂直于平行四边形所在平面，若，则平行四边形一定是___________.
20．已知点是直线上的一个动点，，是圆的两条切线，，是切点，若四边形的面积的最小值为，则实数的值为__________．
三、解答题
21．已知两直线：和：的交点为P.
（1）直线l过点P且与直线垂直，求直线l的方程；
（2）圆C过点且与相切于点P，求圆C的方程.
22．如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．
23．如图，在直三棱柱中，平面，其垂足落在直线上．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若是线段上一点，，三棱锥的体积为，求的值.
24．已知圆外有一点，过点作直线．
(1)当直线与圆相切时，求直线的方程；
(2)当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长．
25．已知点，分别为线段上的动点，且满足
（1）若求直线的方程；
（2）证明：的外接圆恒过定点（异于原点）．
26．如图，在三棱柱中，平面,，点分别为棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求三棱锥的体积.
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
首先画出长方体，利用题中条件，得到，根据，求得，可以确定，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
在长方体中，连接，
根据线面角的定义可知，
因为，所以，从而求得，
所以该长方体的体积为，故选C.
【点睛】
该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
2．D
解析：D
【解析】
【分析】
先求出球心到底面距离的最大值，从而可求顶点到底面的距离的最大值，利用该最大值可求体积的最大值.
【详解】
设外接球的球心为，半径为，则，故.
设球心在底面上的投影为，因为，故为的外心.
因为，，所以，故为直角三角形，
故为的中点，所以，
设到底面的距离为，则，
所以三棱锥的体积的最大值为.
故选：D.
【点睛】
几何体的外接球、内切球问题，关键是球心位置的确定，必要时需把球的半径放置在可解的几何图形中，注意球心在底面上的投影为底面外接圆的圆