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湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（B卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（）
A． B． C． D．
2．若，则（???）
A． B． C． D．
3．已知，那么（）
A． B． C． D．
4．下列说法正确的是（???）
A．三点确定一个平面
B．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
C．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
D．以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
5．若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（）
A．4 B． C．2 D．
6．如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（???）
A． B． C． D．
7．已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（???）
A． B．
C． D．
8．已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（???）
A．是周期为2的函数
B．
C．函数为奇函数
D．函数有5个零点
二、多选题
9．已知，令，则下列结论正确的是（???）
A．的定义域是
B．的解集为
C．是奇函数
D．在区间上单调递增，在区间上单调递减
10．已知，则下列结论正确的是（???）
A．的单调递增区间为
B．在区间上的值域为
C．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则
D．若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是
11．如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（????）
??
A．四点，，，在同一平面内
B．三条直线，，有公共点
C．直线与直线不是异面直线
D．直线上存在点使，，三点共线
三、填空题
12．计算：．
13．如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是．
14．如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是；若，则的值是．
四、解答题
15．已知平面向量，，．
(1)求函数的最小正周期；
(2)当时，求函数的最小值及此时x的值．
16．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是．
(1)求顶点D的坐标；
(2)求的面积．
17．如图，在三棱锥A-BCD中，为三棱锥的高，，点M是AC的中点，且，点E，F分别在，上，且，．
(1)线段上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N的位置并证明；若不存在，请说明理由；
(2)求三棱锥的外接球的体积．
18．已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且．
(1)判断的形状；
(2)若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长．
19．将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性．
(1)判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向．
①；
②（其中表示不超过x的最大整数）；
③．
(2)已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，．
（ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标；
（ⅱ）证明在方向上具有平移不变性；
（ⅲ）求．
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《湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（B卷）》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
B
C
B
D
D
ABC
ACD
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】联立方程组，计算出，得到交集.
【详解】由方程组，解得，则.
故选：C．
2．B
【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案.
【详解】，则.
故选：B．
3．A