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湖南省邵东市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．集合，则（????）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，若，则（????）
A． B． C．1 D．2
4．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则的值为（????）
A． B． C． D．
5．某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃）
18
13
10
-1
用电量（度）
24
34
38
64
由表中数据得到线性回归方程，当气温为℃时，预测用电量均为
A．68度 B．52度 C．12度 D．28度
6．从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（????）
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，双曲线C：的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若是正三角形，则C的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．已知是自然对数的底数，函数，实数满足不等式，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知随机变量X服从正态分布，则下列选项正确的是（????）
（附：若，则，.)
A． B．
C． D．
10．在的展开式中，下列结论正确的是（???）
A．展开式的二项式系数和是128 B．只有第4项的二项式系数最大
C．的系数是 D．展开式中的有理项共有3项
11．已知圆，则下列命题正确的是（????）
A．圆心坐标为
B．直线与圆相交所得的弦长为8
C．圆与圆有三条公切线.
D．圆上恰有三个点到直线的距离为，则或
三、填空题
12．函数（且）的图象恒过定点.
13．已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P到x轴的距离为．
14．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是．
四、解答题
15．的内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小：
(2)若，的面积为，求的周长.
16．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，且平面平面ABCD，．
??
(1)证明：平面PCD；
(2)若，E为棱PC的中点，求直线PC与平面ABE所成角的正弦值．
17．已知函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间和最小值.
18．已知椭圆的离心率，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值.
19．数列中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为的一阶差数列，记为，依此类推，的一阶差数列称为的二阶差数列，记为，...如果一个数列的p阶差数列是等比数列，则称数列为p阶等比数列
(1)已知数列满足
（i）求，·
（ii）证明：是一阶等比数列；
(2)已知数列为二阶等比数列，的前5项分别为1，，求
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《湖南省邵东市第三中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
A
D
A
A
AC
AC
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】求出集合，由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】由复数乘法结合共轭复数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以.
故选：B.
3．D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
4．C
【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答.
【详解】直线的斜率为，而直线与直线垂直，
于是得，而，则，
所以.
故选：C
5．A
【详解】由表格可知，，根据回归直线方程必过得，因此当时，，故选择A.
6．D
【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解.
【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球.
从而，，
故.
故选：D
7．A
【分析】设双曲线半焦距为c，求出，由给定的正三角形建