专题06数列求和（裂项相消法）(典型题型归类训练)
目录
TOC\o1-2\h\u一、必备秘籍 1
二、典型题型 2
题型一：等差型 2
题型二：无理型 5
题型三：指数型 8
题型四：通项裂项为“”型 11
三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练 13
一、必备秘籍
常见的裂项技巧
类型一：等差型
=1\*GB3①
特别注意
②
如：（尤其要注意不能丢前边的）
类型二：无理型
=1\*GB3①
如：
类型三：指数型
①
如：
类型四：通项裂项为“”型
如：①
②
本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.
二、典型题型
题型一：等差型
例题1．（2023秋·四川成都·高三校考阶段练习）已知等差数列的前n项和为
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
例题2．（2023秋·甘肃白银·高二校考阶段练习）在①，，②这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
(1)已知数列的前n项和为，______，求的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前n项和．
例题3．（2023秋·福建宁德·高二福建省宁德第一中学校考阶段练习）已知数列满足，.
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前项和为，求证：.
例题4．（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）记递增的等差数列的前n项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列的前n项和．
题型二：无理型
例题1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，且，，成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)当数列的公差不为0时，记数列的前n项和为，求证：.
例题2．（2023秋·广东·高三河源市河源中学校联考阶段练习）在等比数列中，，且成等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求不等式的解集．
例题3．（2023秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设各项均不为零的数列的前项和为，且对于任意，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前99项和.
例题4．（2023·重庆·统考三模）已知等差数列的前项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：当时，．
题型三：指数型
例题1．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考阶段练习）已知数列为等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，求证：．
例题2．（2023秋·福建宁德·高二福鼎市第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
例题3．（2023秋·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求证：.
例题4．（2023·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）已知数列满足（且），且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，求证：.
题型四：通项裂项为“”型
例题1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）记为数列的前项和，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和．
例题2．（2023春·江苏南京·高二校联考阶段练习）已知数列的前项和为，满足，
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前20项和.
例题3．（2023秋·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知数列满足：，.
(1)证明：是等比数列，并求的通项公式；
(2)令，求的前n项和.
例题4．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）设正项数列的前n项和为，已知，且.
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
三、专题06数列求和（裂项相消法）专项训练
一、单选题
1．（2023春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知数列的通项公式为，则（????）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）等比数列中，，数列，的前n项和为，则满足的n的最小值为（????）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（2023·全国·高三专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知正项数列的前n项和为，且，令，则（????）
A．7 B．8 C．17 D．18
4．（2023春·辽宁沈阳·高二沈阳二十中校联考期中）已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（????）
A． B． C． D．
5．（2023秋·江苏常州·高三校考期末）已知正项数列是公差不为的等差数列，，，成等比数列若，则（????）