1.7因动点产生的相切问题
例12013年上海市杨浦区中考模拟第25题
如图1，已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动
点．
（1）当tanA?1时，求AP的长；
2
（2）如果⊙Q过点P、O，且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y
于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当tanA?4时（如图3），存在⊙M与⊙O相内切，同时与⊙Q
3
相外切，且OM⊥OQ，试求⊙M的半径的长．
图1图2图3
动感体验
请打开几何画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，等腰三
角形QPO与等腰三角形OAP保持相似，y与x成反比例．⊙M、⊙O和⊙Q三个圆的圆心
距围成一个直角三角形．
请打开超级画板文件名“13杨浦25”，拖动点P在⊙O上运动，可以体验到，y与x
成反比例．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为0.82，⊙M与⊙O相内切，
2
同时与⊙Q相外切．拖动点P使得QP?5，拖动点M使得⊙M的半径约为9，⊙M与⊙O、
2
⊙Q都内切．
思路点拨
1．第（1）题的计算用到垂径定理和勾股定理．
2．第（2）题中有一个典型的图，有公共底角的两个等腰三角形相似．
3．第（3）题先把三个圆心距罗列出来，三个圆心距围成一个直角三角形，根据勾股定
理列方程．
满分解答
（1）如图4，过点O作OH⊥AP，那么AP＝2AH．
1
在Rt△OAH中，OA＝3，tanA?，设OH＝m，AH＝2m，那么m＋(2m)＝3．222
2
解得m?35．所以AP?2AH?4m?125．
55
（2）如图5，联结OQ、OP，那么△QPO、△OAP是等腰三角形．
又因为底角∠P公用，所以△QPO∽△OAP．
因此QPOP，即y3．
??
POPA3x
由此得到y?9．定义域是0＜x≤6．
x
图4图5
（3）如图6，联结OP，作OP的垂直平分线交AP于Q，垂足为D，那么QP、QO是
⊙Q的半径．
在Rt△QPD中，13，4，因此5．
PD?PO?tanP?tanA?QP?
2232
如图7，设⊙M的半径为r．
由⊙M与⊙O内切，r?3，可得圆心距OM＝3－r．
O
由⊙M与⊙Q外切，r?QP?5，可得圆心距QM??r5．
Q22
在Rt△QOM中，5，OM＝3－r，5，由勾股定理，得
QO?QM??r
22
52252．解得9．
(?r)?(3?r)?()r?
2211