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湖南省长沙市2025届高三下学期三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（）
A．2 B． C．1 D．0
3．已知等比数列的各项都为正数，且当时有，则数列的前20项和为（????）
A．190 B．210 C．220 D．420
4．已知某个群体中对某活动持满意态度的人数比例为，从该群体中随机抽取10人，设这10人中持满意态度的人数为，随机变量，则（）
A．1.8 B．3.6 C．4.2 D．4.8
5．已知，，且，则（）
A． B． C． D．
6．已知、分别为椭圆的左、右焦点，为的上顶点，直线与交于另一点，且，则的离心率为（）
A． B． C． D．
7．已知点，定义A，B两点间的曼哈顿距离，欧氏距离．在平面直角坐标系xOy中，已知点，点满足，点满足，则的最大值为（）
A． B． C． D．
8．已知函数和的定义域均为，且为偶函数，为奇函数，若，均有，则（）
A．575 B．598 C．621 D．624
二、多选题
9．已知为两个随机事件，且，则下列结论正确的是（????）
A．若，则
B．
C．若B和C是两个互斥事件，则
D．当时，
10．已知函数，则（）
A．是周期函数 B．的最小值是 C．的图象有对称轴 D．的图象有对称中心
11．已知数列的前项和为，，且，则下列结论正确的是（）
A．若是递增数列，且、、成等差数列，则
B．若，且是递增数列，是递减数列，则
C．若，则存在数列，使得当时，
D．若，则存在数列，使得当时，
三、填空题
12．过点，且在轴、轴上的截距的绝对值相等的直线共有条．
13．已知向量，则当取得最大值时，．
14．在空间直角坐标系Oxyz中，点，已知若点在平面ABC内，则，则在三棱锥内部（不包括表面）的整点（横、纵、竖坐标均为整数的点）的个数为．（用数字作答）
四、解答题
15．如图，菱形ABCD的对角线交于点，且为CD的中点，平面CBD，且．现沿BD将翻折至的位置，使得平面平面CBD，且点和在平面CBD的同侧．
(1)证明：平面BCE；
(2)求直线EF和平面所成角的正弦值．
16．某公司是从事无人机特种装备的研发、制造与技术服务的综合型科技创新企业．该公司生产的甲、乙两种无人机性能都很好，但对操控人员的水平要求较高．已知在单位时间内，甲、乙两种无人机操作成功的概率分别为和，假设每次操作成功与否相互独立．
(1)该公司分别收集了甲种无人机在5个不同地点测试的两项指标，数据如下表所示：
地点1
地点2
地点3
地点4
地点5
2
4
5
6
8
3
4
4
4
5
试求与之间的相关系数，并利用说明与的线性相关程度．
（若，则线性相关程度较高，否则线性相关程度不高）
(2)操作员连续进行两次无人机的操作，在初次操作时，随机选择这两种无人机中的一种，若初次操作成功，则第二次继续使用该种无人机，若初次操作不成功，则第二次使用另一种无人机进行操作，求操作成功的次数的数学期望．
附．
17．如图，动圆与半圆相切（内切或外切），也与轴相切．
(1)求动圆圆心的轨迹方程．
(2)直线的斜率为，且与（1）中所得的轨迹由左至右分别交于点，是否存在满足？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．
18．若对于函数的定义域内的任意非零实数，恒有，则称为区间上的“理想”函数．已知函数．
(1)若的图象在点处的切线经过坐标原点，求．
(2)若是定义在上的“理想”函数，且，
（i）求的取值范围；
（ii）若当取最大值时，是定义在上的“理想”函数，求的取值范围．
19．设是由个实数组成的行列的数表，其中每个数的绝对值均不大于1，且所有数的和为0．记为的第行各数之和，为的第列各数之和，，并记为，中的最小值．
1
1
0
-1
表1
1
1
表2
(1)设数表如表1所示，求的值；
(2)设数表如表2所示，求的最大值；
(3)给定正整数，对于所有的2行列数表，求的最大值．
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《湖南省长沙市2025届高三下学期三模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
B
B
D
A
D
C
ACD
BC