2024年新高考Ⅱ卷立体几何试题的探究
一、试题呈现
【2024年新高考Ⅱ卷第17题】如图，平面四边形ABCD中，AB=8，CD=3，AD=53，∠ADC=90°，∠BAD=30°，点E、F满足AE=25AD，AF=12AB，将△AEF沿EF对折至△PEF，使得PC=43．
（1）证明：EF⊥PD；
（2）求面PCD与面PBF所成的二面角的正弦值．
二、试题分析
本题以平面四边形ABCD翻折成的五棱锥P－EFBCD为背景，第（1）问考查线线垂直的证明，第（2）考查二面角的正弦值，试题结构熟悉，设问自然，难度适中，把能力和素养的考查建立在基础知识的掌握和基本技能的运用上。主要考查的知识点有平面向量的运算、余弦定理、线面垂直的判定定理、向量法求二面角等知识.考查数形结合，化归与转化的数学思想方法，突出逻辑推理、直观想象、数学运算等数学核心素养的考查.从题目条件呈现来看，翻折模型和五棱锥模型均是全国卷中比较少考的模型，用向量来呈现图形中的数量关系，并结合解三角形的知识，体现了试题的综合性和创新性.这种多个模块知识点相结合的命题方式在今年新的试题结构下明显增加，值得我们研究和关注.
三、解法探究
（1）由AB=8，AD=53，AE=25AD，AF=12AB，
得AE=23，AF=4，又∠BAD=30°，
在△AEF中，由余弦定理得EF=16+12－2×4×23×32=2，
所以AE2+EF2=AF2，则AE⊥EF，即EF⊥AD，
所以将△AEF沿EF对折至△PEF，
有EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE=E，PE、DE平面PDE，
所以EF⊥平面PDE，又PD平面PDE，
故EF⊥PD.
评注：本题的证明思路为先证明线线垂直，然后得到线面垂直，再得到线线垂直，体现了空间问题和平面问题的相互转化，体现化归与转化数学思想方法的应用.要求考生熟练掌握立体几何中的线线垂直、线面垂直的判定定理，掌握几何证明方法，具备一定的逻辑推理的能力.在翻折问题中，关键是抓住翻折过程中的变化性与规律性，特别是翻折过程中的不变量.如本题的∠PEF，∠DEF在翻折前后的不变性是问题解决的关键.在证明EF⊥AD时，用到了余弦定理及勾股定理，在立体几何的问题中考查解三角形的知识，体现了高考试题基础性、综合性的考查特点.
（2）解法一：向量法
连接CE，由∠ADC=90°，ED=33，CD=3，则CE2=ED2+CD2=36.
在ΔPCE中，PC=43，PE=23，EC=6，得EC2+PE2=PC2，
所以PE⊥EC，由（1）知PE⊥EF，又EC∩EF=E，EC、EF平面ABCD，
所以PE⊥平面ABCD.
如图以EF、ED、EP为x、y、z轴建立空间直角坐标系.
则E（0，0，0），P（0，0，23），D（0，33，0），C（3，33，0），F（2，0，0），A（0，－23，0），
由F是AB的中点，得B（4，23，0）.
设平面PCD的一个法向量为n→=（x，y，z），
PD=（0，33，－23），DC=（3，0，0）
由n→·DC=0，n→·PD=0，得3x=0，33y－23z=0，令z=3得n→=（0，2，3）.
设平面PBF的一个法向量为m→=（x1，y1，z1），
PF=（2，0，－23），FB=（2，23，0），
由m→·PF=0，m→·FB=0，得2x1－23z1=0，2x1+23y1=0，令z1=1得m→=（3，－1，1）.
设平面PCD和平面PBF所成的二面角为θ，
所以cosθ=cos〈m→，n→〉=m→·n→m→n→=15·13=6565，
则sinθ=1－cos2θ=86565，
即平面PCD和平面PBF所成的二面角的正弦值为86565.
评注：本解法是利用向量法求解二面角相关问题的通法，突出对通法通性和数学运算的考查.考生容易出错的地方有建系时要先证明线面垂直关系，求点B的坐标，求平面的法向量的规范解答，法向量夹角与二面角之间的关系转化等问题.
解法二：几何法
如图所示，延长DC、AB交于点G，连接PG，
所以二面角A－PG－D为面PCD与面PBF所成的二面角中的一个.
因为在RtΔADG中，∠BAD=30°，AD=53，所以AG=10，DG=5，
过点A作AN⊥PD交DP延长线于N，过点A作AM⊥PG交GP延长线于M，连接MN.
因为EF⊥平面PAD，又EF//DG，
所以DG⊥平面PAD，又AN平面PAD，
所以DG⊥AN，又DG∩PD=D，
所以AN⊥平面PDG，
所以AN⊥PG，又AM⊥PG，AM∩AN=A，
所以PG⊥平面AMN，
所以PG⊥MN，所以∠AMN为二面角A－PG－D的平面角或其补角.
在ΔADN中，AN=AD×sin∠PDA=AD×PEPD=53×213=10313=103913.
在ΔAPG中，AP=26，PG=