微分几何题库及答案答案
一、单项选择题（每题2分，共20分）
1.曲线的密切平面的法向量是（）
A.单位切向量B.主法向量C.副法向量D.位置向量
答案：B
2.空间曲线\(r(t)=(t,t^2,t^3)\)在\(t=1\)处的切向量为（）
A.\((1,2,3)\)B.\((1,1,1)\)C.\((2,3,4)\)D.\((3,2,1)\)
答案：A
3.曲线的曲率\(k\)恒为\(0\)，则该曲线是（）
A.直线B.圆C.抛物线D.椭圆
答案：A
4.曲面\(z=x^2+y^2\)的第一基本形式\(I\)为（）
A.\((1+4x^2)dx^2+8xydxdy+(1+4y^2)dy^2\)
B.\(dx^2+dy^2\)
C.\((1+2x^2)dx^2+4xydxdy+(1+2y^2)dy^2\)
D.\(4x^2dx^2+8xydxdy+4y^2dy^2\)
答案：A
5.曲面上一点的主方向是（）
A.任意方向B.渐近方向C.曲率线方向D.测地线方向
答案：C
6.曲线\(r(t)=(a\cost,a\sint,bt)\)的曲率\(k\)为（）
A.\(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\)B.\(\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\)C.\(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)D.\(\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\)
答案：A
7.对于正则曲面\(r(u,v)\)，\(E=r_{u}\cdotr_{u}\)，\(F=r_{u}\cdotr_{v}\)，\(G=r_{v}\cdotr_{v}\)，则第二基本形式\(II\)中\(L\)等于（）
A.\(r_{uu}\cdotn\)B.\(r_{uv}\cdotn\)C.\(r_{vv}\cdotn\)D.\(r_{u}\cdotn\)
答案：A
8.球面上的测地线是（）
A.直线B.大圆C.小圆D.抛物线
答案：B
9.曲线\(r(t)\)的挠率\(\tau\)反映曲线（）
A.弯曲程度B.扭转程度C.光滑程度D.长度变化
答案：B
10.曲面\(r(u,v)=(u\cosv,u\sinv,v)\)的高斯曲率\(K\)为（）
A.\(0\)B.\(\frac{1}{u^{2}+1}\)C.\(-\frac{1}{(u^{2}+1)^{2}}\)D.\(1\)
答案：C
二、多项选择题（每题2分，共20分）
1.以下属于曲线的基本向量的是（）
A.单位切向量B.主法向量C.副法向量D.法向量
答案：ABC
2.曲线的基本不变量有（）
A.曲率B.挠率C.弧长D.位置向量
答案：AB
3.关于曲面的第一基本形式，正确的是（）
A.与曲面的度量性质有关
B.可以用来计算曲面上曲线的长度
C.可以用来计算曲面上两曲线的夹角
D.与曲面的弯曲程度无关
答案：ABCD
4.以下哪些曲线是平面曲线（）
A.曲率\(k\)恒为\(0\)的曲线
B.挠率\(\tau\)恒为\(0\)的曲线
C.曲率\(k\)为常数的曲线
D.挠率\(\tau\)为常数的曲线
答案：AB
5.曲面的第二基本形式与（）有关
A.曲面的形状B.曲面的弯曲程度C.切平面D.法向量
答案：ABD
6.曲面上的渐近曲线满足（）
A.主曲率为\(0\)B.法曲率为\(0\)
C.曲率为\(0\)D.挠率为\(0\)
答案：B
7.以下关于高斯曲率\(K\)的说法正确的是（）
A.可由第一、二基本形式的系数表示
B.反映曲面的整体弯曲性质
C.与曲面上的坐标选取无关
D.恒大于\(0\)
答案：ABC
8.曲线\(r(t)\)的弗伦内特标架包含（）
A.单位切向量\(\alpha\)B.主法向量\(\beta\)
C.副法向量\(\gamma\)D.法向量\(n\)
答案：ABC
9.曲面上的测地线具有以下性质（）
A.局部长度最短
B.切向量沿测地线平行移动
C.主法向量与曲面法向量平行
D.曲率为\(0\)
答案：ABC
10.以下哪些是研究微分几何的常用工具（）
A.向量分析B.张量分析C.微