第三节函数极限
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自变量改变过程六种形式:
依据自变量这种改变过程，本节主要研究以下两种情况：
二、当自变量x绝对值无限增大时，f(x)改变趋势，
一、当自变量x无限地靠近于x0时，f(x)改变趋势
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一、自变量趋向有限值时函数极限
这个函数虽在x=1处无定义，但从它图形上可见，当点从1左侧或右侧无限地靠近于1时，f(x)值无限地靠近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)极限。
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怎样用数学语言刻划
无限靠近
于确定值A？
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1.定义
定义1
设函数
有定义.
记作
或
恒有
在点x0某去心邻域内
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注：
(1)定义习惯上称为极限ε—δ定义其三个要素：
①正数ε，②正数δ，③不等式
(3)δ与任意给定正数ε相关。
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必存在x0去心邻域
对于此邻域内x,
对应函数图形位于这一带形区域内.
作出带形区域
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普通说来,
应从不等式
出发,
推导出应小于怎
这个推导经常是困难.
不过,注意到我们不需要找最大
所以
适当放大些,
式子,
变成易于解出
就证实完成.
可把
样正数,
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证
这是证实吗？
例1
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例2证实
证
于是
恒有
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例3
分析：
函数在点x=1处没有定义.但这与函数在该点是否有极限并无关系．
证
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例4
证
min
可用
确保
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证实
证
因为
要使
解出
只要
可取
有
解不等式,
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3.左、右极限(单侧极限)
比如,
两种情况分别讨论!
记作
记作
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左极限
右极限
或
或
记作
记作
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且
此性质惯用于判断分段函数当x趋近于
分段点
时极限.
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(1)左、右极限均存在,且相等；
(2)左、右极限均存在,但不相等；
(3)左、右极限中最少有一个不存在.
找找例题！
函数在点x0处左、右极限可能出现
以下三种情况之一：
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例5.设函数
讨论
时
极限是否存在.
解:利用定理3.
因为
显然
所以
不存在.
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y=f(x)
x
O
y
1
1
在x=1处左、右极限.
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二、自变量趋向无穷大时函数极限
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返回
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经过上面演示试验观察:
怎样用准确数学数学语言刻划函数“无限靠近”.
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2.另两种情形
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解
显然有
可见
和
即使都存在,
但它们不相等.
例5
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图形
完全落在:
图形
水平渐近线(horizontalasymptote).
则直线
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例6
证
成立.由极限定义可知:
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例7
证
要使
成立.
只要
有
解不等式
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试证
证
注意
有
为了使
只要使
有
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三、函数极限性质
函数极限与数列极限相比,有类似性质,
定理1(极限唯一性)
有极限,
若在自变量某种改变
趋势下,
则极限值必唯一.
定理2(局部有界性)
f(x)有极限,
f(x)有
极限,
且证实方法也类似.
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定理3(局部保号性)
证
(1)设A0,
取正数
即
有
自己证
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只要取
便可得更强结论:
证
(1)
也即
(2)
自己证.
定理3(1)证实中,
不论
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证
假设上述论断不成立,
那么由(1)就有
这与
假设矛盾,
若定理3(2)中条件改为
必有
不能!
如
是否
定理3
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1.函数极限
或
定义;
2.函数极限性质
局部保号性;
四、小结
唯一性;
局部有界性;
3.函数左右极限判定极限存在性.
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