第1页，共25页，星期日，2025年，2月5日一、正项级数及其审敛法若定理1.正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”机动目录上页下页返回结束第2页，共25页，星期日，2025年，2月5日定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k0),第3页，共25页，星期日，2025年，2月5日P=1时,为调和级数事实上,假设调和级数收敛于S,则但矛盾!所以假设不真.例1.讨论p级数(常数p0)的敛散性.发散.第4页，共25页，星期日，2025年，2月5日解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p级数发散.发散,机动目录上页下页返回结束第5页，共25页，星期日，2025年，2月5日因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知p级数收敛.时,2)若机动目录上页下页返回结束第6页，共25页，星期日，2025年，2月5日调和级数与p级数是两个常用的比较级数.若存在对一切机动目录上页下页返回结束第7页，共25页，星期日，2025年，2月5日证明级数发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.机动目录上页下页返回结束第8页，共25页，星期日，2025年，2月5日判定级数的敛散性.例3.判定级数的敛散性.例4.判定级数的敛散性.例5.第9页，共25页，星期日，2025年，2月5日定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当l=0(3)当l=∞设两正项级数满足(1)当0l∞时,第10页，共25页，星期日，2025年，2月5日是两个正项级数,(1)当时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当且收敛时,(3)当且发散时,也收敛;也发散.机动目录上页下页返回结束第11页，共25页，星期日，2025年，2月5日定理4.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散；(3)当时,该方法不能判别。第12页，共25页，星期日，2025年，2月5日说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数但级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束第13页，共25页，星期日，2025年，2月5日例5.讨论级数的敛散性.解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;机动目录上页下页返回结束第14页，共25页，星期日，2025年，2月5日定理5.根值审敛法(Cauchy判别法)设为正项级则数,且(3)当时,该方法不能判别。第15页，共25页，星期日，2025年，2月5日时,级数可能收敛也可能发散.例如,p–级数说明:但级数收敛;级数发散.机动目录上页下页返回结束第16页，共25页，星期日，2025年，2月5日例6.证明级数收敛于S。解:由定理5可知该级数收敛.机动目录上页下页返回结束例7.判定级数(a0),是否收敛。解:a=1时，级数也发散。所以：a1该级数收敛.a1级数发散。（为什么？）第17页，共25页，星期日，2025年，2月5日二、交错级数及其审敛法则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理6.(Leibnitz判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和第18页，共25页，星期日，2025年，2月5日(L.P371第一节)(L.P373表6-1