2024年北京大学强基计划数学
笔试真题及参考解析
(20个单项选择题)
202419*
1.球工模7的数.
20
解.1.
因为19,三(-!)?(mod20),所以
([19广i()?
19*三一1012+￡充
W20
(=1°r=l
19192024-1_4
2018
19(192(19河队一1)+192_1)
三---4=1(mod7).
20-18
上述中用到19$三1(mod7),192-1=2。?18,所以20?18?7|192022一1.
备注：考点为同相关问题，需要掌握费马小定理.
□
2.求sin36°一sin3114。+sin3126°.
3〃?3
阵16
设〃=sin6°,b=sin114°,r=sin126°,a=6°,*方面
a+b+=sina+sin(n120°)+sin(a+120°)=0,
所以
a3+胪+『=(q+b+c)(a2+信+/—beca)+3abc=3abc
=3sinasin(a120°)siu(a+120°)=3sinasin(60°4-a)sin(60°a)
33
=,sin3i=M18°
3/5-3
16
上述计算过程用到4倍角公式sin3a=4siiiasin-Fa)shi7T,以及sin18°=cos72°=
1
~4~,
备注：号点为熟练掌握三角公式.尤其不太常用的第二三倍角公式，此外知道三项立方和与三
项积的相关因式分解公式将会事半功倍，猿课里都有讲.
O
3.求1,28的排列个数，使得排列中没有出现12,2378.
解.16687.
设1,2,.符合题意的排列的个数为令申=1,%=%3=3,我们将1~〃分成A段
(1VA?n),对每一种分法，其所对应的不符合题意的个数为虹则
an=〃！一C二；％_2???一C；_]Q2一
所以=4!3?33勾一⑶=11,也5=5!4。4一回34。2⑶=53,咬=6!
5%10。4lCki35。2=309,=7!6(ii15。520g15。36也—=2119.
=8!7(1721ti635d535。421