重庆南开中学高2025级高一（下）期末考试
数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
1.直线的倾斜角是（）
A.30° B.60° C.120° D.150°
【答案】A
【解析】
【分析】根据倾斜角与斜率之间的关系运算求解.
【详解】因为的斜率，
所以其倾斜角为30°.
故选：A.
2.已知，均为单位向量，且与夹角为，则（）
A.3 B. C.2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求，再利用模长公式可得答案.
【详解】因为，均为单位向量，且与夹角为，所以；
因为，所以.
故选：D.
3.将按斜二测画法得到，如图所示，，，，则的面积（）
A.2 B. C.4 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用正弦定理求出，即可得到平面图形中的长度，即可求出面积.
【详解】因，，，则，
由正弦定理，即，解得，
则在平面图形中，，
所以.
故选：D
4.过四棱锥任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线有（）
A.4条 B.5条 C.6条 D.7条
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行的判定定理分析求解.
【详解】如图，设为相应棱的中点，
则//，且平面，平面，所以//平面，
同理可得：与平面平行，
由图可知：其他的任意两条棱的中点的连线与平面相交或在平面内，
所以与平面平行的直线有6条.
故选：C.
5.如图，在长方体中，，，，，，则直线与所成角的余弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，可知直线与所成角即为直线与所成角，求出，在中，由余弦定理求解即可.
【详解】取上靠近的三等分点F，取上三等分点，
连接，
因为，所以四边形是平行四边形，
所以，所以直线与所成角即为直线与所成角，
，
由正方体的性质可得：平面，平面，
所以平面，所以，，
，，
，
在中，，
所以直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
6.在中，边上的高，且，则为（）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理及面积公式得到，再由基本不等式得到，利用辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.
【详解】由余弦定理，
又，
即，
所以，
即，
因为，所以，
即，
所以，
则，即，
因为，所以，
所以，解得，即为锐角.
故选：A
7.已知是边长为的正三角形，动点满足，且.若为的中点，则的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取的中点，连接，根据平面向量共线定理的推论可得、、三点共线，由正三角形的性质可得且，即可得到当是的中点取得最小值.
【详解】如图取的中点，连接，则，
因为，所以，又，
所以、、三点共线，即在直线上，
因为是边长为的正三角形，所以且，
又为的中点，所以当是的中点时且，则，
此时取得最小值，即的最小值为.
故选：B
8.《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵.斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之棊，其形露矣.”即将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图所示为鳖臑，平面，，，分别在棱，上，且，.若，则三棱锥外接球的体积为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可得平面，即可得到，从而得到平面，又外接圆的直径即可直角三角形的斜边，即可得到即为三棱锥外接球的直径，从而求出外接球的体积.
【详解】因为平面，平面，所以，
又，，平面，所以平面，
平面，所以，又，，平面，
所以平面，
又，所以外接圆的直径即可直角三角形的斜边，
又平面，，所以即为三棱锥外接球的直径，
所以三棱锥外接球的半径，
所以外接球的体积.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请将答案填写在答题卡相应的位置上.
9.下列四个命题中不正确的是（）
A.，，则
B.，则
C.，，则
D.，，，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对于A，若，，则可能，故A不正确；
对于B，若，则可能，故B不正确；
对于C，若，，则，故C正确；