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福建省龙岩市龙岩市一级校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（???）
A． B． C． D．
2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若，则（???）
A．1 B． C．2 D．
3．如图，在矩形ABCD中，E为CD的中点，则向量（???）
A． B． C． D．
4．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（???）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若m，n是异面直线，，，，，则
5．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
6．已知在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为BC的中点，DE与CO相交于点F，M为DF的中点，若，则的值为（???）
A． B． C． D．
7．如图，在棱长为2的正方体中，M，P分别是棱，的中点，平面与平面将该正方体截成三个多面体，其中N，Q分别在棱BC，上，则多面体的表面积为（???）
A．14 B．15 C．16 D．
8．在四边形ABCD中，，，，若P为三条边上的一个动点，且，则以下说法正确的是（???）
①满足的点P有且只有1个
②满足的点P恰有2个
③能使取最大值的点P恰有2个
④能使取最大值的点P有无数个
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
二、多选题
9．已知复数满足，其中为虚数单位，则（???）
A．复数的虚部为 B．
C．复数是方程的解 D．
10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（???）
A． B．外接圆的面积为
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
11．如图，在长方体中，，，，E是棱上的一个动点，下列命题正确的是（???）
A．长方体外接球的表面积为
B．过A，E，三点的平面截长方体所得截面的周长的最小值为
C．在棱上存在相应的点G，使得平面
D．若，点F在四边形（包括边界）上运动，且平面，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量满足，的夹角为，则.
13．如图，为测量高度CD，选取与C在同一水平面内的两个测量点A，B.现测得，，千米，在点B处测得D的仰角为，则CD的高为千米.
14．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若存在最大值，则实数的取值范围是.
四、解答题
15．已知复数，，且是纯虚数，其中a为实数，i是虚数单位.
(1)求a的值；
(2)在复平面内，O为坐标原点，向量，对应的复数分别是，，若，求实数c的值.
16．已知平面向量，.
(1)当实数为何值时，与垂直？
(2)若与所成的角为锐角，求实数的取值范围.
17．在中，D是BC边上的点且，.
(1)求的值；
(2)若，，求的面积.
18．如图1，设半圆的半径为2，点B，C三等分半圆，P，M，N分别是OA，OB，OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题.
(1)求证：平面平面ABC.
(2)求四面体ACMN的体积.
(3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E，使得平面ABC？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由
19．古希腊数学家托勒密给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知凸四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线.
(1)若为凸四边形的外接圆直径，，，，求与的长度；
(2)若，且为正三角形，求面积的最大值；
(3)已知，且，，求的最大值
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《福建省龙岩市龙岩市一级校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
C
D
B
D
C
D
ACD
BC
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】利用复数的除法运算写出进而写出的值.
【详解】因为，所以，
所以.
故选：A
2．A
【分析】由二倍角公式求出，由正弦定理即可求.
【详解】因为，，
所以，解得，
由正弦定理可得，
故选：A
3．C
【分析】根据向量的加法法则和矩形的性质求解即可.
【详解】因为在矩形ABCD中，E为CD的中点，
则，
所以
.
故选：C.
4．D
【