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广东省湛江第一中学2025届高三”临门一脚“数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则
A． B．
C． D．
2．已知为虚数单位，复数z满足，则为（????）
A． B． C．1 D．
3．已知向量在向量上的投影向量为，若，则（???）
A． B． C．3 D．9
4．若，，则
A． B． C． D．
5．在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（????）
A．3 B． C．3或 D．-3或
6．假设变量与变量的对观测数据为、、、，两个变量满足一元线性回归模型，则参数的最小二乘估计为（????）
A． B．
C． D．
7．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，分别是它们的在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则等于（????）
A．4 B．2 C．2 D．3
8．已知函数，若曲线与有两条公切线，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
则下列结论正确的是（????）
A．任取一个零件，则它是次品的概率0.0525
B．如果取到的零件是次品，则它是第1台车床所加工的概率
C．如果取到的零件是次品，则它是第2台车床所加工的概率
D．如果取到的零件是次品，则它是第3台车床所加工的概率
10．如图，在棱长为2的正方体中，，分别是棱，的中点，则下列说法正确的是（????）
??
A．，，，四点共面 B．
C．直线与所成角的余弦值为 D．点到直线的距离为1
11．经过，两点的曲线如图所示，关于曲线，下列说法正确的是（????）
A．
B．曲线经过的整数点个数为3个
C．的取值范围均为
D．若点在曲线上，则以为半径的圆的面积的最大值为
三、填空题
12．现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为．
13．已知抛物线的焦点为，圆：，过点作直线与圆交于两点，且为的中点，则直线的方程为.
14．函数在点，处的切线分别记为，，且，过点作轴的平行线与交于点，则.
四、解答题
15．已知公比大于的等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求.
16．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，，E，F分别是PA，PD的中点，过E，F作平面交线段PB，PC分别于点G，H，且
(1)求证：；
(2)若PD⊥平面ABCD，且二面角为，二面角的正弦值为，求t的值．
17．已知函数，.
(1)求的单调区间和极小值；
(2)证明：当时，.
18．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆上某一点恰好与点重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕，设折痕与直线的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)曲线上一点N，点A、B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
19．盒子中装有个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，每次从中无放回地随机取出1个球．
(1)若盒中有2个白球，其余为黑球，2次取球后，求取出的2个球不同色的概率；
(2)若盒中白球数为随机变量，，证明：第1次取出白球的概率为；
(3)若盒中白球数为，每次取球后，将1个白球放回盒中，保持盒中球的总数不变，求第次取出白球的概率．
参考公式：若是离散型随机变量，有．
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《广东省湛江第一中学2025届高三”临门一脚“数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
A
B
A
C
ABC
BD
题号
11
答案
CD
1．B
【分析】解一元二次不等式得集合A，解分式不等式得集合B，利用交集的定义即可得解.
【详解】集合，或.
.
故选B.
【点睛】本题主要考查解一元二次不等式和分式不等式及集合交集的运算，属于基础题.
2．C
【分析】根据复数的除法计算求解得出复数，再应用模长公式计算求解.
【详解】复数z满足，则
则.
故选：C.
3．A
【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案.
【详解】，∴,
,
故