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湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知，则（???）
A．1 B． C． D．2
3．角的终边落在射线上，则的值为（???）
A． B． C． D．
4．已知，，则数列的通项公式为（???）
A． B． C． D．
5．若且，则的取值范围是（???）.
A． B． C． D．
6．已知函数的极小值点为0，则m的取值范围是（???）
A． B． C． D．
7．在矩形中，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内（不含边界），设二面角的大小为，直线与平面所成的角分别为，则（????）
A． B．
C． D．
8．已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（????）
A． B．8 C．12 D．16
二、多选题
9．以下四个命题中，真命题的有（????）
A．在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好；
B．回归模型中残差是实际值与估计值的差，残差点所在的带状区域宽度越窄，说明模型拟合精度越高；
C．对分类变量与的统计量来说，值越小，判断“与有关系”的把握程度越大．
D．已知随机变量服从二项分布，若，则．
10．下列命题为假命题的有（???）
A．若，则
B．若，则，
C．函数在区间上单调递减
D．函数的最小值为5
11．点在曲线上，点是点关于轴的对称点，点是点关于轴的对称点，点是点关于直线的对称点.设为坐标原点，则下列结论正确的有（????）
A．
B．点在曲线上
C．为定值
D．当且仅当点与点重合时，取最小值
三、填空题
12．某科技攻关青年团队共有人，他们的年龄分别是，，，，，，，，则这人年龄的分位数是．
13．欧拉公式（e为自然对数的底数，i为虚数单位）是瑞士著名数学家欧拉发明的，是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数虚部为.
14．在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为.
四、解答题
15．在数列中，若，且，则称为“数列”，设为“数列”，记的前项和为.
(1)若，求，，的值；
(2)若，求的值.
16．为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了株和株古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位：）如下表所示：
编号位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1
(1)根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；
(2)记山上与山下试验田古茶树产茶量的方差分别为，根据样本数据，估计与的大小关系（只需写出结论）；
(3)从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为，求随机变量的分布列和数学期望.
17．如图，直三棱柱中，分别为棱，上的点，为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.
18．已知双曲线的中心为坐标原点，上焦点为，离心率为.记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的上支交于M，N两点.
(1)求的方程；
(2)直线和的斜率分别记为和，求的最小值；
(3)直线与交于点P，证明：点P在定直线上.
19．如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为.若满足，则称是仿射坐标系下的“完美向量”，已知在仿射坐标系下，.
(1)若，求向量的仿射坐标，并写一个“完美向量”的仿射坐标（不需要说明理由）；
(2)当时，是仿射坐标系下的“完美向量”，且，求
(3)设，若对恒成立，求的最大值.
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《湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
A
C
A
D
B
AB
ABD
题号
11
答案
ACD
1．B
【分析】解不等式可得集合，进而可得解.
【