试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数，则的共轭复数的虚部为（????）
A． B． C． D．
2．已知，，则（????）
A． B． C． D．
3．在中，，则最大角的余弦值为（????）
A． B． C． D．
4．非零向量，满足，若，则，的夹角为（????）
A． B． C． D．
5．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为（????）
A．2 B．1 C． D．
6．已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
7．已知，，则右图表示的函数可能是（????）
A． B． C． D．
8．设，，则等于（????）
A． B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．下列说法正确的是（????）
A．“”是“”成立的充分条件
B．命题，则
C．命题“若，则”是真命题
D．“”是“”成立的充分不必要条件
10．已知平面向量，，则（????）
A． B．与可作为一组基底向量
C．与夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量的坐标为
11．如图，在棱长为4的正方体中，，，分别为棱，，的中点，点为线段上的动点，则（????）
A．两条异面直线和所成的角为 B．存在点，使得平面
C．对任意点，平面平面 D．点到直线的距离为4
三、填空题
12．已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围是．
13．在中，，，点O是的外心，则．
14．已知函数，且，则的最小值为．
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为，且．
(1)求；
(2)若，，为的中点，求．
16．已知集合，集合．
(1)求；
(2)已知，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
17．如图，在中，已知，M是的中点，N是上的点，且相交于点P．设.
(1)若，试用向量表示;
(2)若，求实数x的值．
18．三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点．
??
(1)求与所成角的余弦值；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)求证与平面平行．
19．对于定义在区间的函数，定义：，，其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值.
(1)若，，试写出、的表达式；
(2)设且，函数，，如果与恰好为同一函数，求的取值范围；
(3)若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出对应的，如果不是，请说明理由.
答案第=page11页，共=sectionpages22页
答案第=page11页，共=sectionpages22页
《湖南省长沙市明德中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
B
B
A
B
B
AC
BC
题号
11
答案
BCD
1．D
【分析】先对复数化简，然后求出其共轭复数，从而可求出的虚部.
【详解】因为，
所以，
所以的共轭复数的虚部为.
故选：D
2．C
【分析】解方程组，结合交集的定义可求得集合.
【详解】解方程组得或，
因为，，
则.
故选：C.
3．A
【分析】由正弦定理与余弦定理求解即可.
【详解】由题意可知，所以，所以最大，
设，
由余弦定理得：，
故选：A
4．B
【分析】由题意利用求向量的模的方法，求得，从而利用向量的夹角公式求解即可.
【详解】∵非零向量，满足，且，
设，的夹角为，
则，且，
所以.
∴.
∵，∴.
故选:B．
5．B
【分析】利用圆锥与其展开图的关系计算即可.
【详解】设底面半径为，
易知圆锥展开图对应扇形的弧长为圆锥底面圆的周长，半径为圆锥的母线，
所以.
故选：B
6．A
【详解】试题分析：,所以与同方向的单位向量为，故选A.
考点：向量运算及相关概念.
7．B
【分析】根据函数图象的对称性可排除CD，根据函数值的符号可排除A，故可得正确的选项.
【详解】由图象可得题设中图象对应的函数为奇函数，
而，故为偶函数；
的定义域为，该定义域关于原点对称，
而，故为定义域上的偶函数，故CD错误；
当时，，故A错误；
故选：B.
8．B
【分析】利用指对数互换和幂的运算性质求得，再利用对数运算性质求得，进而求得可得结果.
【详解】因为，，则，
可得，，则，
又因为，
所以.
故选：B
9．