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江苏省常州市2024-2025学年高一下学期4月期中质量调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数，则（???）
A．1 B． C．2 D．
2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（???）
A．， B．，
C．， D．，
3．中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（???）
A． B． C．或 D．或
4．在中，设，若，则（????）
A． B．
C． D．
5．设中的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是（???）
A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
6．设是方程的两根，且，则（????）
A． B． C．或 D．
7．在正六边形中，是正六边形内部以及边界上任意一点，且，则的最大值为（???）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．在中，，，，则的最大值为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知两个不共线的单位向量的夹角为，则下列结论正确的是（????）
A．向量在上的投影向量为； B．；
C．； D．.
10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（???）
A．外接圆的面积为 B．若，则
C．面积的最大值为 D．周长的最大值为
11．已知函数，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的有（???）
A．的一个对称中心为
B．若实数满足，则
C．函数的最大值为
D．若平面向量，则的取值范围为
三、填空题
12．若是关于的实系数方程的一个复数根，则.
13．在中，，，，若为中点，则长为.
14．已知单位圆上不同的三点A，B，C，则的最小值为.
四、解答题
15．已知复数（）．
（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；
（2）若复数z在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围．
16．已知向量，.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求的最小值.
17．已知函数部分图象如图所示.
(1)求的单调递增区间；
(2)已知，，求的值.
18．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且.
(1)求；
(2)若，，
①的平分线交于点，求线段的长；
②若，点P，Q是边上的两个动点，且，设的面积为，求的最小值.
19．对于一组复数（且），如果存在，使得，其中，那么称是该复数组的“长复数”.
(1)设，，若是复数组，，的“长复数”，求实数的取值范围；
(2)若，，复数组是否存在“长复数”?给出你的结论并说明理由；
(3)若，，是否，对于，都能满足复数组，，中的每一个复数均为“长复数”?若存在，求出所有的；若不存在，请说明理由.
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《江苏省常州市2024-2025学年高一下学期4月期中质量调研数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
D
D
B
C
D
ABC
BCD
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】利用复数除法运算以及复数模的求法即可求解.
【详解】复数，则.
故选：B.
2．C
【分析】根据平面向量基本定理，两个不共线的向量可以作为基底，由此对各项中的向量加以分析，可得正确答案．
【详解】对于A，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底；
对于B，，，根据零向量与平面内任意向量共线，可知与不可以作为基底；
对于C，，，根据，可知与不共线，它们可以作为基底；
对于D，，，由于，所以与共线，它们不可以作为基底．
故选：C．
3．A
【分析】利用正弦定理，结合大边对大角，小边对小角即可求解.
【详解】由正弦定理可得：，代入得：，
解得，因为，所以，
即，
故选：A.
4．D
【分析】由已知条件结合向量的线性运算即可得答案.
【详解】在中，；①
在中，；②
①+②，得
因为，所以，
即
故选：D.
5．D
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用判断出三角形为直角三角形．
【详解】由，
利用正弦定理：，
整理得，
因为，所以，故，
故．
所以为直角三角形.
故选：D．
6．B
【分析】利用韦达定理求出，再利用两角和的正切公式求出，即可得解.
【详解】因为是方程的两根，
所以，
所以，
因为，所以，所以，
则，
所以.
故选：B.
7．C
【分析】过作