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江苏省高邮市2024-2025学年高二下学期期中学情调研测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．可表示为（???）
A． B． C． D．
2．已知向量，且，那么（???）
A． B． C． D．
3．5名男生分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是（???）
A．6 B．120 C．125 D．243
4．对于空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，能得到点P在平面ABC内的是（???）
A． B．
C． D．
5．设，则直线能作为下列函数图象的切线的有（???）
A． B． C． D．
6．在长方体中，，点E在棱BC上，且，点G为的重心，则点G到直线AE的距离为（???）
A． B． C． D．
7．若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
8．设定义在上的函数的导函数为，若对，均有，且，则（???）
A． B．
C． D．是函数的极小值点
二、多选题
9．满足不等式的x的值可能为（???）
A．5 B．6 C．7 D．8
10．在空间直角坐标系中，，则（???）
A．向量在向量上的投影向量为
B．若某直线的方向向量为，则该直线与平面平行
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点在平面内的射影为点
11．已知函数，下列说法正确的是（???）
A．当时，函数有三个零点
B．当时，函数有两个极值点
C．当时，函数关于点对称
D．当时，若，则
三、填空题
12．设定义在R上的函数的导函数为．
13．已知，则．（用数字作答）
14．已知正方体的棱长为2，是棱的中点，点在侧面内，若，则面积的最小值为．
四、解答题
15．已知函数，且满足．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数在区间上的最大值与最小值．
16．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设．
(1)试用向量表示向量；
(2)若，求的值．
17．（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答）
（2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答）
（3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答）
18．如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角．
(1)求线段的长度；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数的最小值为，求a的值；
(3)证明：当时，．
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《江苏省高邮市2024-2025学年高二下学期期中学情调研测试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
C
A
B
C
ABC
AC
题号
11
答案
BCD
1．D
【分析】利用排列数的定义可得结果.
【详解】.
故选：D.
2．A
【分析】利用空间向量共线的充要条件计算即得.
【详解】因为，，
所以可设，
则有，，，
解得，，，
故.
故选：A.
3．D
【分析】分析题意，考虑每名男生报名的方法数，再按分步乘法计数原理即可求得.
【详解】依题意，每名男生都可以报名参加3个运动队中的任何一个，且每人限报其中的一个，
故每名男生的报名方法都是3种，因此5名男生的不同报法种数为.
故选：D.
4．C
【分析】由不共线的三点A，B，C，推出不共线，由四点共面，推得存在唯一的一组实数，满足，即，以此为依据，逐一检验各选项即可.
【详解】因A，B，C三点不共线，则不共线，
则点P在平面ABC内，即四点共面，
也即存在唯一的一组实数，满足，
即，
整理得：.
对于A，因，可得，
因，故此时点P不在平面ABC内，故A错误；
对于B，因，可得，
因，故此