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江苏省华罗庚中学2024-2025学年高三下学期第一次阶段检测数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则集合可以是（????）
A． B． C． D．
2．已知复数，则复数z的模为（???）
A． B． C． D．
3．设都是非零向量，那么命题“与共线”是命题“”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．南宋数学家杨辉所著《九章算法?商功》中，有如下图形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个，第三层有6个…，设各层球数构成一个数列，数列满足，以下说法错误的是（????）
A．
B．
C．是以2为首项，1为公差的等差数列
D．设的前项和为，则
5．已知，且，则（????）
A．3 B．2 C． D．
6．已知圆锥的底面半径为，高为2，正方体棱长为，若点A，B，C，D在该圆锥的侧面上，点，，，在该圆锥的底面上，则（）
A．2 B． C．1 D．
7．已知是抛物线上的一个动点，是椭圆上的一个动点，定点，若轴，且，则的周长的取值范围是
A． B． C． D．
8．定义在上的函数满足，且，则（????）
A．有极大值无极小值 B．有极小值无极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值又无极小值
二、多选题
9．下列命题正确的是（???）
A．已知关于的回归方程为，则样本点的残差为
B．数据4，6，7，7，8，9，11，14，15，19的分位数是14
C．已知随机变量，若最大，则的取值集合是
D．，，，和，，，的方差分别为和，若且，2，3，，则
10．已知函数，若函数为偶函数，则下列说法一定正确的是（????）
A．的图象关于直线对称
B．
C．
D．
11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，如图所示．已知点是上一点，则（????）
A．
B．
C．当时，的最大值为
D．曲线在轴左侧所围成的区域面积大于2
三、填空题
12．二项式，若，则．
13．由数列和的公共项组成的数列记为，已知，，若为递增数列，且，则．
14．已知O为坐标原点，过双曲线（）的左焦点的直线与的右支交于点，与左支交于点Q，若，，，则双曲线的离心率为.
四、解答题
15．中角所对的边分别为，，.
(1)若，求的面积；
(2)求的最大值.
16．已知函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求的极值；
(2)若恰有两个零点，求的取值范围．
17．如图，在圆台中，，分别是上、下底面的直径，，线段是的一条直径，且，为线段的中点，．
??
(1)证明：平面；
(2)若点为圆台上底面圆周上一点，且平面与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18．某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．
(1)若，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．
(2)假设，
（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
（ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？
19．在平面直角坐标系中，把一个图形绕定点旋转一个定角的图形变换叫作旋转变换.定点叫作旋转中心，定角叫作旋转角（规定逆时针方向为正）.如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫作这个旋转变换的对应点.现将曲线绕顺时针旋转后，得到新曲线，其变换关系为，点在曲线上.
(1)求曲线的方程并确定点的位置；
(2)点的坐标为，按照如下方式依次构造点：过点作斜率为2的直线交于另一点，设是点关于轴的对称点.记的坐标为.
（i）求数列的前项和；
（ii）记为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，为直线与直线的交点，证明：在定直线上.
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《江苏省华罗庚中学2024-2025学年高三下学期第一次阶段检测数学试卷》参考答案
题号
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