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江苏省沭阳高级中学等四校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足(为虚数单位)，则的虚部为（???）
A． B． C． D．
2．在中，“”是“”的（????）．
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
3．已知等边三角形的边长为1，设，，，那么（????）
A．3 B． C． D．
4．在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（????）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
5．若，则的值为（???）
A． B． C． D．
6．已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
7．如图，在平面四边形中，，分别为，的中点，，，，若，则实数的值是（????）
A．1 B． C． D．
8．在锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数z在复平面内对应的点为Z，则下列说法正确的是（???）
A．
B．
C．若z为纯虚数，则Z在虚轴上
D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为6π
10．下列关于平面向量的说法中正确的是（???）
A．设为非零向量，若，则
B．若，则或
C．设为非零向量，则
D．若点为的重心，则
11．如图，已知⊙O内接四边形中，，，则（???）
??
A． B．
C． D．
三、填空题
12．.
13．已知向量，，若，则.
14．已知在中，角所对的边分别为，，是的中点，若，则的最大值为．
四、解答题
15．已知复数.
(1)若z是纯虚数，求的值;
(2)若在复平面内对应的点在第四象限，求m的取值范围.
16．已知向量，的夹角为，且
(1)求
(2)(其中x∈R).，当取最小值时，求与的夹角的大小.
17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
(1)求A；
(2)已知的面积为，设M为BC的中点，且，的平分线交BC于N，求线段AN的长度．
18．如图所示，在平行四边形ABCD中，，，，点E，F分别是边AD，DC上的动点，且，BE与AC交于G点.
??
(1)若，试用向量，表示向量；
(2)求的取值范围.
19．作为一种新的出游方式，近郊露营在疫情之后成为市民休闲度假的“新风尚”.我市城市规划管理局拟将近郊的一直角三角形区域按如图所示规划成三个功能区：区域为自由活动区，区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓，区域规划供游客餐饮休息用.为安全起见，预在鱼塘四周围筑护栏.已知，，，.
(1)若时，求护栏的长度（的周长）；
(2)若鱼塘的面积是“餐饮休息区”的面积的倍，求；
(3)当为何值时，鱼塘的面积最小，最小面积是多少？
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《江苏省沭阳高级中学等四校2024-2025学年高一下学期4月期中联考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
D
B
D
A
D
D
ABC
AD
题号
11
答案
ABD
1．A
【分析】先根据的次幂每次一个循环，得出；再根据复数的四则运算得出；最后根据复数虚部的定义即可得出结果.
【详解】因为，
所以.
又因为，
所以.
所以的虚部为.
故选：A
2．A
【分析】可以由反向推导得到A＞B﹒
【详解】由得，
，
，
在中，所以，
由正弦定理得，
由大边对大角的结论知．
所以为充要条件．
故选：A
3．D
【分析】结合等边三角形的特点和向量的夹角公式计算即可．
【详解】在等边三角形中，
有．
故选：D．
4．B
【分析】由余弦定理可判定选项A，利用正弦定理和大边对大角可判断选项B，C，D.
【详解】对于A，已知三角形三边，且任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边，从而可由余弦定理求内角，只有一解，A错误；
对于B，根据正弦定理得，，
又，，B有两解，故B符合题意；
对于C，由正弦定理：得：，
C只有一解，故C不符合题意.
对于D，根据正弦定理得，，
又，，D只有一解，故D不符合题意.
故选：B
5．D
【分析】利用同角三角函数基本关系和两角和的正弦公式进行计算可得结果.
【详解】因为，所以，
由，则，
所以，
则
.