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重难点培优04常见函数与函数中的新定义问题
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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 4
题型一对勾函数（★★★★） 4
题型二反函数（★★★） 7
题型三高斯函数（★★★★） 11
题型四狄利克雷函数（★★★） 16
题型五最值函数（★★★★） 19
题型六黎曼函数（★★★） 25
题型七倍值函数（★★★） 31
题型八给出其他新性质定义（★★★★★） 37
题型九给出其他新概念定义★★★★★） 46
题型十给出其他新运算定义（★★★★★） 55
03实战检测?分层突破验成效 59
检测Ⅰ组重难知识巩固 59
检测Ⅱ组创新能力提升 85
1、反函数
（1）定义：一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作．
例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数
（2）性质
①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；
②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立；
③互为反函数的两个函数的单调性相同；
④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；
⑤单调函数必有反函数．
2、对勾函数
解析式
图像
定义域
渐近线
值域
奇偶性
奇函数
单调性
在上是增函数，在是减函数
在上是增函数，在是减函数
3、高斯函数
（1）定义：不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]，例如，[3.4]＝3，[－2.1]＝－3，这一规定最早为数学家高斯所使用，故函数y＝[x]称为高斯函数，又称取整函数.
（2）性质
①定义域：R；值域：Z.
②不具有单调性、奇偶性、周期性.
（3）图象
4、狄利克雷函数
（1）定义域R；值域{0，1}.
（2）奇偶性：偶函数.
（3）周期性：以任意正有理数为其周期，无最小正周期.
（4）无法画出函数的图象，但其图象客观存在.
5、最值函数
设min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a＞b，))max{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥b，,b，a＜b.))
直观上来说min{a，b}的作用就是求a，b的最小值，我们将其称为最小值函数，同样，max{a，b}用来表示a，b的最大值，称作最大值函数.
6、倍值函数
对于函数的定义域为，若存在区间，当时，的值域为，则称函数为倍值函数，区间称为函数的“倍值区间”。特别地，当时，函数称为保值函数。此类问题可转化为对应“不动点”、“稳定点”问题，也可以转化为方程同解问题，考察分类讨论、等价转化、属性结合、函数与方程等重要思想方法，综合能力要求较高，属难题。
7、函数中的新定义问题
（1）常见题型
①利用函数中的新定义及相关知识求参数取值范围；
②利用函数中的新定义及相关知识探究问题是否成立.
（2）解决方案
联系所学函数的相关知识和方法解决问题函数中的新定义型问题
（3）常用方法
①理解函数的新定义；②将新定义问题转化为已知问题；③利用函数的性质.
（4）失误与防范
①注意函数的定义域；②注意对结果的检验；③利用方程思想.
题型一对勾函数
【技巧通法·提分快招】
基本不等式，当且仅当时取到最小值，即时，
1．（23-24高三下·天津滨海新·月考）对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】参变分离，转化为求的最小值问题，变形为，利用对勾函数性质求解可得.
【详解】分离参数得，
要使对任意，不等式恒成立，只需.
又因为，令，
由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，
所以，所以.
故选：D
2．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（???）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据对勾函数的单调性，即可求解.
【详解】当时，为单调递增函数，不符合题意，
当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意，
当时，在单调递增，在单调递减，
故在上单调递减，则，
故选：C
3．（2025·河北·一模）函数在上的零点个数为（????）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】先结合“勾函数”的性质求出的取值范围，再结合正弦函数的图象求零点个数.
【详解】