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专题01相交线与平行线
（考题猜想，11种易错重难点与解题模型73题专项训练）
题型一：根据平行线的性质探究角的关系
1．（23-24七年级下·北京·期中）如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则；
（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系．
【答案】
【分析】本题考查利用平行线的性质探究角的关系：
（1）作，则，根据两直线平行、内错角相等，可得，，由此可解；
（2）作交于点K，根据两直线平行、同位角相等，可得，进而可得，同（1）可证，再利用角的和差关系即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，作，
，，
，
，，
，
故答案为：60；
（2）如图，作交于点K，
，
，
，
，
，
同（1）可得，
，
即，
故答案为：．
2．（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）探究题：
(1)如图1，若，则，你能说明理由吗？
(2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明
【答案】(1)理由见解析
(2)，证明见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答；
（2）过点作，由平行线的性质可得和，再利用角的和差即可解答．
【详解】（1）解：能，理由如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
．
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，
，
，
，，
，
，
，
又，
．
3．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点．
(1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由．
(2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．
【答案】(1)，理由见解析
(2)不成立，，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键．
（1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可；
（2）同（1）即可求解．
【详解】（1）解：，理由如下，
过点作，
，
，
，，
，
．
（2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下：
过点作．
，
∴
，
，
，即．
4．（23-24七年级下·云南曲靖·期中）如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），平分交于点C、平分交于点D．
(1)若，求的度数；
(2)数学兴趣小组探索后发现无论点P在射线上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变，请你写出它们的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查的是平行线的性质，角平分线的定义；
（1）先证明，证明，，再利用角的和差运算可得结论；
（2）先证明，，，再进一步可得结论.
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分交于点C、平分交于点D，
∴，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，
∴，，
∵BD平分，
∴，
∴．
5．（23-24七年级下·辽宁·期中）已知，直线，点E为直线上一定点，直线交于点F，平分
(1)如图1，当时，°；
(2)点P为射线上一点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N．
①如图2，点P在线段上，若点M在点E左侧，求与的数量关系；
②点P在线段的延长线上，当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）．
【答案】(1)55
(2)①，②或
【分析】本题主要考查平行线的判定与性质、角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质、角平分线，并分类讨论是解题的关键．
（1）结合题目条件，求出，继而得解；
（2）①过点P作，则，由平行线的性质及角的关系得到；
②分和两种情况，画图求解即可；
【详解】（1）∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
故答案为：55；
（2）①过点P作，如图，
则
∴，
∵，
∴，
即，
∴
∵，
∴，
∴，
②当时，如图，
∵，
∴
∴，
∵平分
∴
∵，
∴，
当时，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵平分
∴
∵
∴，
∵，
∴
∴
．
故∠PNF的度数为或．
题型二：根据平行线的性质求角的度数
6．（22-23七年级下·甘肃白银·期中）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数为（????）
??
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点作，则，再根据平行线的性质可以求出、，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得．
【详解】解：如图，过点作，
??，
，
，，
．
，
．
．
．
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的