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专题01二次根式
（考题猜想，5种易错重难点54题专项训练）
题型一：利用二次根式的性质化简（易错）
1．（24-25八年级上·重庆万州·期中）计算：的值为（???）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算、运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了二次根式的化简，完全平方公式，整式的乘法，熟练掌握知识点是解题的关键．令，把原式化简为，再利用二次根式的性质化简，最后再代入求值即可．
【详解】解：令，
则原式化为：
，
故选：B．
2．（24-25八年级上·上海·期中）阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：
．
请利用上述运算法则化简：．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简等知识．熟练掌握利用完全平方公式进行因式分解，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
由题意知，，则，求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故答案为：．
3．（23-24八年级下·北京·期中）我们规定用表示一对数对．给出如下定义：记，，其中（，），将与称为数对的一对“对称数对”．若数对的一个“对称数对”是，则的值是．
【答案】6或/或6
【知识点】利用二次根式的性质化简、新定义下的实数运算
【分析】本题考查了新定义和解方程，理解和应用新定义是解题的关键．根据新定义，列方程，解答即可．
【详解】解：数对的一个“对称数对”是，
可能是或，
若是，
则，解得，，解得，
；
若是，
则，解得，，解得，
；
故答案为：6或．
4．（24-25八年级上·贵州贵阳·期中）贵阳市第十九中学数学社团的同学，在社团活动中遇到了化简二次根式的难题．
【问题解决】
（1）小慧同学的解决思路是将转化为的形式，根据．因为，，所以______，______，则可得到化简；
【问题探究】（2）请仿照小慧的解题思路，化简二次根式；
【问题迁移】（3）若，解方程．
【答案】；；
【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查完全平方公式，二次根式的化简，理解并掌握题干中给定的解题方法是解题的关键．
（1）根据题目所给方法对变形即可得解；
（2）根据题意结合所给方法对变形，再利用二次根式的性质化简即可得解；
（3）根据题目所给方法，得到，再利用二次根式性质化简，得到，再解方程即可；
【详解】（1），
故答案为：；
（2）
，
（3），
又，
∴，
上式，
，
故方程为，
5．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）我们已经学过完全平方公式，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求的算术平方根．
解：，
所以的算术平方根是．
你看明白了吗?请根据上面的方法化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】此题考查了二次根式的化简．
（1）根据题意得到，即可到答案；
（2）把化为，即可得到答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
6．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料：
小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简，
即：．
善于思考的小明进行了以下探索：
对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数）
例如：∵，
．
请你参考小明的方法探索并解决下列问题：
(1)化简：；
(2)化简：；
(3)若，其中，都是整数，直接写出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】运用完全平方公式进行运算、利用二次根式的性质化简
【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键．
（1）根据，，利用完全平方公式即可得答案；
（2）根据，，利用完全平方公式即可得答案；
（3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
=
．
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，都是整数，
∴，
解得：，
∴，
解得：．
7．（23-24八年级下·贵州遵义·期中）【阅读材料】小聪在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：
；
．
【类比归纳】
（1）请你仿照小聪的方法将化成另一个式子的平方；
（2）请你运用小聪的方法化简；
【类比归纳】
（3）若，且均为正整数，，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）或