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江西省赣州市十八县（市）二十五校2024-2025学年高一下学期第五十三次期中联考（4月）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（???）
A．1 B． C．0 D．
2．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
3．已知，为不共线向量，，，若，为共线向量，则（????）
A．2 B．4 C． D．
4．设，则“”是“”的（?????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．若向量，，满足，，且，，则在上的投影数量为（????）
A． B． C． D．
6．如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点，，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（???）
A． B． C． D．
7．已知，，，，则（????）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
8．若向量，满足，则的最小值为（???）
A．0 B． C． D．
二、多选题
9．已知，则（???）
A．是第一象限角 B．
C．与终边相同的最大负角是 D．在内与终边相同的角只有1个
10．下列函数是周期函数，且1是该函数一个周期的有（???）
A．
B．
C．，，
D．
11．若点是三边中线的交点，且的中点为，是线段上的动点，则下列结论一定正确的是（???）
A．
B．
C．当最小时与重合
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.2，0.1，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为.
13．若函数是奇函数，则.
14．若函数满足：当时，；；.若方程在区间上有且仅有6个不同实根，则的取值范围是.
四、解答题
15．已知点在角的终边上.
(1)求的值；
(2)求的值.
16．近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2027年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249，478.
(1)求这6个数据的75%分位数及平均数；
(2)从这6个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这6个数据的平均数的概率.
17．把函数的图象向左平移个单位长度，再把每个点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数的图象.
(1)求的最大值及取得最大值时的取值集合；
(2)求的单调递减区间；
(3)求在区间上的值域.
18．已知函数的部分图象如图所示，点，是图象上相邻的最低点与最高点，线段与的图象交于点，过点作轴的垂线与的图象的离最近的一个交点为，.
(1)求的解析式；
(2)求；
(3)已知甲地某一天的气温（单位：）随时间（单位：h）的变化曲线是图象的一部分，若该地居民在气温低于时开启空调，求该地居民这一天开启空调的时长.
19．如图，在中，点，，分别在边，，上，且，，交于点.
(1)已知.
（ⅰ）若是所在平面内任意一点，证明：；
（ⅱ）若，，求的值；
(2)若，，，证明：.
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《江西省赣州市十八县（市）二十五校2024-2025学年高一下学期第五十三次期中联考（4月）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
A
A
D
C
BD
BCD
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】根据诱导公式及特殊角的余弦值计算.
【详解】.
故选：C.
2．B
【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.
【详解】因为，，所以.
故选：B.
3．D
【分析】利用平面向量的共线性质建立方程，求解参数即可.
【详解】因为，为不共线向量，且，为共线向量，
所以，而，，
则，
故，解得，故D正确.
故选：D.
4．C
【解析】根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.
【详解】因为
当时,,所以.即“”是“”的充分条件.
当时,由于成立,所以,即“”是“”的必要条件.
综上可知,“”是“”的充要条件
故选:C
【点睛】本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.
5．A
【分析】利用投影数量公式结合