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重难点培优02利用基本不等式求最值
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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 2
题型一分离转化对勾型（★★★） 2
题型二变形后利用常数代换法（★★★★） 3
题型三消元法（★★★★） 4
题型四换元法化简（★★★★） 4
题型五双换元法化简（★★★★） 5
题型六三角换元法化简（★★★） 5
题型七多次使用基本不等式（★★★★） 6
题型八三元型均值不等式（★★★★） 6
题型九基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） 7
03实战检测?分层突破验成效 8
检测Ⅰ组重难知识巩固 8
检测Ⅱ组创新能力提升 9
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．
【说明】，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：、、．
2、基本不等式
（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：；
（3）常用结论：
=1\*GB3①（同号），当且仅当时取等号；
（异号），当且仅当时取等号．
=2\*GB3②（），当且仅当时取等号；
（），当且仅当时取等号；
3、基本不等式链：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
题型一分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型
1．设，则（????）
A． B．
C． D．
2．函数的最大值是（????）
A．2 B． C． D．
3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（????）
A． B．
C． D．
4．函数的最小值为．
5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为．
题型二变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（???）
A．9 B．18 C．27 D．36
2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河南·月考）已知正数，满足，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
4．（2025·重庆·模拟预测）若，且，则的最小值为．
5．（24-25高三上·山东聊城·月考）已知正数，满足，则的最小值为．
6．（24-25高三上·四川南充·月考）已知正数x，y满足，则的最小值为．
题型三消元法
【技巧通法·提分快招】
当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
1．（2025·河南·模拟预测）若，且，则的最大值为（????）
A． B．1 C． D．
2．（2024·浙江金华·模拟预测）已知，则的最小值为（????）
A．4 B．6 C． D．
3．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
4．（2024·吉林长春·一模）已知，，，则的最小值为．
5．（24-25高三上·重庆九龙坡·期末）已知均为正实数，若，则的最小值为.
题型四换元法化简
1．（24-25高三上·河北唐山·月考）已知正数满足，则的最小值为（???）
A． B． C． D．
2．已知，则的最小值为．
3．（24-25高三上·河南·月考）已知，则的最小值为.
4．（24-25高三上·浙江·期中）设，则的最大值为.
题型五双换元法化简
1．已知为正数，求的最大值（????）
A． B．1 C． D．
2．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（????）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2025·河北