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重难点培优02利用基本不等式求最值
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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 2
题型一分离转化对勾型（★★★） 2
题型二变形后利用常数代换法（★★★★） 5
题型三消元法（★★★★） 8
题型四换元法化简（★★★★） 11
题型五双换元法化简（★★★★） 13
题型六三角换元法化简（★★★） 16
题型七多次使用基本不等式（★★★★） 18
题型八三元型均值不等式（★★★★） 21
题型九基本不等式与其他知识交汇（★★★★★） 23
03实战检测?分层突破验成效 27
检测Ⅰ组重难知识巩固 27
检测Ⅱ组创新能力提升 34
1、重要不等式
（1）公式：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立．
【说明】，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：、、．
2、基本不等式
（1）公式：如果，，那么，当且仅当时，等号成立．
（2）常见变形：；
（3）常用结论：
=1\*GB3①（同号），当且仅当时取等号；
（异号），当且仅当时取等号．
=2\*GB3②（），当且仅当时取等号；
（），当且仅当时取等号；
3、基本不等式链：
即调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).
题型一分离转化对勾型
【技巧通法·提分快招】
形如，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型
1．设，则（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】对变形后，利用基本不等式求解.
【详解】，则，
，
当且仅当时，等号成立，则.
故选：D.
2．函数的最大值是（????）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】化简函数，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，函数
又由，当且仅当，即时等号成立，
所以，所以
即函数的最大值是.
故选：C.
3．（24-25高三上·江西赣州·期中）（多选题）下列式子中最小值为8的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】对于A、B选项，直接根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于C选项，先将原式变形为，再根据均值不等式结合取等条件判断正误即可；对于D选项，根据，利用“1”的代换，结合均值不等式和取等条件判断正误即可.
【详解】对于选项A：，
当且仅当，即时等号成立，但不成立，
所以的最小值不为8，故A错误；
对于选项B：因为，则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为8，故B正确；
对于选项C：，
当且仅当时，即时，取得最小值8，故C正确；
对于选项D：由题意，
则，
当且仅当，即时，等号成立，故D不正确.
故选：BC
4．函数的最小值为．
【答案】
【分析】将函数化为，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由，又，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以原函数的最小值为.
故答案为：
5．（24-25高三上·上海·开学考试）函数在上的最大值为．
【答案】
【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为，，令，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最大值为．
故答案为：
题型二变形后利用常数代换法
【技巧通法·提分快招】
1、积与和型，如果满足有和有积无常数，则可以转化为常数代换型。
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
2、形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
3、对于分数型求最值，如果复合a+b=t，求型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
1．（23-24高三上·陕西咸阳·月考）已知实数x满足，则的最小值为（???）
A．9 B．18 C．27 D．36
【答案】C
【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值.
【详解】因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取等号.
故选：C
2．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】因为，，且，则，
则，
所以
，
当且仅当时，
即当，时，所以的最小值为，
因为恒成立，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A.
3．（24-25高三上·河南·月考