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重难点培优01集合、常用逻辑用语中的参数及新定义问题
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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 2
题型一集合与元素的关系（★★） 2
题型二集合的包含关系（★★★） 7
题型三集合的交并补运算及容斥原理（★★★★） 10
题型四集合的新定义（★★★★★） 13
题型五常用逻辑用语中的参数问题（★★★★） 21
03实战检测?分层突破验成效 24
检测Ⅰ组重难知识巩固 24
检测Ⅱ组创新能力提升 34
一、集合常用结论
1、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3、．
4、,．
5、容斥原理：在部分有限集中，我们经常遇到有关集合中元素的个数问题，常用Venn图表示两集合的交、并、补。如果用card表示有限集合元素的个数，即card（A）表示有限集A的元素个数，则有如下结论：
（1）
（2）
二、集合中的新定义问题
1、集合中的新概念问题，往往是通过重新定义相应的集合或重新定义集合中的某个要素，结合集合的知识加以创新，我们还可以利用原有集合的相关知识来解题．
2、集合中的新运算问题是通过创新给出有关集合的一个全新的运算规则．按照新的运算规则，结合数学中原有的运算和运算规则，通过相关的集合或其他知识进行计算或逻辑推理等，从而达到解答的目的．
3、集合中的新性质问题往往是通过创新集合中给定的定义与性质衍生而来的．我们通过可以结合相应的集合概念、关系、运算等相关知识，利用相应的数学思想方法来解答有关的集合的新性质问题．
4、集合新定义问题处理步骤
①找：要抓住新定义的本质——新定义的要素，首先找出新定义有几个要素，少一个都不是“新的定义”哦；然后找出要素分别是什么
②看：看所求是什么？
③代：将已知条件代入新定义的要素
④解：结合数学知识进行解答
三、从集合的角度理解充分必要性
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A?B可得，p是q的充分条件，
（1）若AB，则p是q的充分不必要条件；
（2）若A?B，则p是q的必要条件；
（3）若AB，则p是q的必要不充分条件；
（4）若A＝B，则p是q的充要条件；
（5）若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
题型一集合与元素的关系
【技巧通法·提分快招】
与集合含义及其表示有关的问题的解题技巧
（1）明确集合的类型，即确定集合是数集、点集，还是其他集合.
（2）理清集合中的元素满足的限制条件，确定元素的属性.
（3）注意检验集合中的元素是否满足互异性，确定集合元素的个数.
（4）理清描述法表示的集合中相关字母变量的取值范围及条件.
1．（24-25高三上·北京通州·期中）设集合，则（????）
A．对任意实数a， B．对任意实数a，
C．当且仅当时， D．当且仅当时，
【答案】C
【分析】利用的取值，反例判断是否成立即可．
【详解】对A，若，则，
将代入不全部满足，此时可知，故A错误；
对B，当时，则，
将代入全部满足，此时可知，故B错误；
对C，若，，解之可得，所以C正确；
对D，当，则，将代入不全满足，
所以，故D错误.
故选：C
2．（2025·广东揭阳·二模）已知集合，则A中元素的个数为（???）
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】C
【分析】首先求出x的值，然后代入分别求出y的值即可.
【详解】因为，所以，
又，所以，可得，所以x可能取值为
当时：代入得，又，
所以，此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，.，，
此时得到元素；
当时：代入得，，，
此时得到元素；
当时：代入得，所以，
此时得到元素；
满足条件的元素分别为：
，，，，共11个，
故选：C
3．（24-25高三下·河北保定·模拟预测）已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合是T，则（????）
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出.
【详解】对于，有，所以；
因为，则或，
而是方程的根，
当时，故，而不是方程的根，
故是方程的唯一根，则，
经