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易错易混02不等式与基本不等式的应用
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TOC\o1-2\h\u01错点扫描?易错建模夯基石 1
02易错归纳?查漏补缺避陷阱 3
易错归纳01忽略不等式成立的前提条件（★★★） 3
易错归纳02多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★） 4
易错归纳03分式不等式（★★★★） 5
易错归纳04一元二次不等式不等式恒成立、有解问题（★★★★★） 6
易错归纳05含参一元二次不等式分类讨论不完整（★★★★★） 7
易错归纳06基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★） 8
03实战检测?易错通关验成效 9
1、不等式的性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集
3、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
4、解分式不等式
（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
（2）分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
5、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
（1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
（2）基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
易错归纳01忽略不等式成立的前提条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
1．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（???）．
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·四川南充·月考）若，，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．（24-25高三下·海南·月考）（多选题）已知，则下列各选项正确的是（???）
A． B．
C． D．
5．（2024·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）已知，则（???）
A． B．
C． D．
易错归纳02多次使用同向相加性质，扩大了取值范围
【易错陷阱·避错攻略】
1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式．
2、解决思路
一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得.
3、解决步骤
第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即．
第二步：列方程组，求出m，n的值.
第三步：分别求出和的取值范围．
第四步：求出的取值范围．
1．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（???）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．
3．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（???）
A． B． C． D．
4．（多选题）已知且，则（???）
A． B．
C． D．
5．（多选题）已知实数满足，，则（?????）
A．的取值范围是
B．的取值范围是
C．的取值范围是
D．的取值范围是
易错归纳03分式不等式
【易错陷阱·避错攻略】
1、求解不等式时，一定要注意化简的等价性，如去分母时要保证分母不为0、平方时