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易错易混02不等式与基本不等式的应用
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TOC\o1-2\h\u01错点扫描?易错建模夯基石 1
02易错归纳?查漏补缺避陷阱 3
易错归纳01忽略不等式成立的前提条件（★★★） 3
易错归纳02多次使用同向相加性质，扩大了取值范围（★★★★） 5
易错归纳03分式不等式（★★★★） 8
易错归纳04一元二次不等式不等式恒成立、有解问题（★★★★★） 10
易错归纳05含参一元二次不等式分类讨论不完整（★★★★★） 13
易错归纳06基本不等式忽略一正二定三相等（★★★★★） 18
03实战检测?易错通关验成效 21
1、不等式的性质
性质
性质内容
特别提醒
对称性
（等价于）
传递性
（推出）
可加性
（等价于
可乘性
注意的符号（涉及分类讨论的思想）
同向可加性
同向同正可乘性
可乘方性
，同为正数
2、二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.
判别式
二次函数(的图象
一元二次方程
()的根
有两个不相等的实数根，()
有两个相等的实数根
没有实数根
()的解集
()的解集
3、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程，计算判别式：
①时，求出两根，且（注意灵活运用十字相乘法）；
②时，求根；
③时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
4、解分式不等式
（1）定义：与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如或（其中,为整式且的不等式称为分式不等式。
（2）分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
5、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
（1）基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
如果，有（当且仅当时，取“”号）
特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立.
（2）基本不等式链
（其中，当且仅当时，取“”号）
易错归纳01忽略不等式成立的前提条件
【易错陷阱·避错攻略】
1、在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．
2、不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．
1．（2025·上海长宁·二模）已知非零实数，则下列命题中成立的是（???）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用赋值法即可判断，，，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由已知当，，所以，故错误；
因为，当时，所以，故错误；
当非零实数，一正一负时，无意义，故错误；
因为在上单调递增，且，
所以，故正确.
故选：.
2．（23-24高三上·四川南充·月考）若，，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项.
【详解】因为，，
对于A选项，，A错；
对于B选项，不妨取，，，，则，B错；
对于C选项，取，则，C错；
对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对.
故选：D.
3．（23-24高三上·江西·期中）已知为实数，则（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】由不等式的性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误；
对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误；
对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确；
对于D，若，则，故D错误.
故选：C.
4．（24-25高三下·海南·月考）（多选题）已知，则下列各选项正确的是（???）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】利用作差法判断A；举例说明判断BD；利用不等式性质判断C.
【详解】对于A，由，得，则，A正确；
对于B，取，满足，而，B错误；
对于C，由，得，则，因此，C正确；
对于D，取，满足，而，D错误．
故选：AC
5．（2024·贵州六盘水·模拟预测）（多选题）已知，则（???）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C.
【详解】，
对于A，，则，A正确；
对于B，取，满足，而，