专题39概率难点突破
【例题1】【答案】见解析
【解析】设A，B，C，D分别是第一、二、三、四个问题，用Mii1，2，3，4表示甲同学第i个问题回答正确，用Nii1，2，3，4表示第i个问题回答错误，则Mi与
ξ
2
3
4
P
1
3
1
所以Eξ2
【例题2】【答案】见解析
【解析】（1）任务不能被完成的概率为1p11p2
（2）X的取值为1，
X
1
2
3
P
q
1
1
EXq121q1q231q11q23
【例题3】【答案】见解析
【解析】（1）由题可知，符合题意共有3种情况，①小明答题正确1道，小俊答题正确2道概率为P1C2145×15×C2223232225；②小明答题正确2道，小俊答题正确1道的概率P2C22452×C2123×1364225；③小明答题正确2道，小俊答题正确2道的概率P3C22452×
【例题4】【答案】见解析
【解析】（1）每份样本检验结果是阳性的概率为P15，以该样本的阳性概率估计全市的血液阳性概率，则X～B3，1
X
0
1
2
3
P
64
48
12
1
故EX
（2）由题意知Eξ1k，ξ2的所有可能取值为1，k1，Pξ211pk，?Pξ2k111pk，Eξ
【例题5】【答案】见解析
【解析】（1）设恰好经过3次检验能把有抗体血液样本全部检验出来为事件A，将A事件分成两种类型，前两次检验中，其中一次检验出抗体，第三次检验出抗体和前三次均无抗体，所以PAC21C
（2）由已知得Eξ1k
所以Pξ211pk，?Pξ2k111pk，所以Eξ21pkk111pkk1k1pk若Eξ1Eξ2，则kk1k1pk，所以k1pk1
【例题6】【答案】见解析
【解析】（1）设“恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件A，则PAC31A
（2）（i）由题意知Eξ14，ξ2的取值可能取值为1，5，Pξ211p4，
（ii）证明：由题意易知Eξ1k，Eξ21kk1p4，要证明Eξ1Eξ2，即证明k1kk1p4，即证明k1p41，即证明1k1p
【例题7】【答案】见解析
【解析】（1）①由题意，甲顾客第一次未中奖且第二次中奖的概率为34×1
②若甲第2次抽奖选方案①，两次抽奖累计积分为ξ，则ξ的可能取值为40，35，10，5，Pξ4014×14116，?Pξ3534×14316
②由题意可得，PkC11k14k3411kC
【例题8】【答案】AD
【解析】由题意得p123，P223×2313×1359，蚂蚁爬n次仍在上底面的概率为Pn，那么它前一步只有两种情况：A：本来就在上底面，再走一点要想不在下底面，只有两条路，其概率是23Pn1；B：也许是上一步在下底面，则第n
【例题9】【答案】AB
【解析】两颗骰子的点数之和为两位数的概率为3213616第n次由甲掷有两种情况：①第n1次由甲掷，第n次由甲掷，概率为16Pn1；②第n1次由乙掷，第次由甲掷，概率为561Pn1这两种情况是对立的，所以当n≥2时，Pn16P
【例题10】【答案】ABC
【解析】对于A，由于学校食堂每天中都会提供A，B两种套餐供学生选择（学生只能选择其中的一种），故AnBn1，故A正确，对于B，由题意可得，An1An×141An×12，则An12514An25n≥1，n∈
【例题11】【答案】BC
【解析】（1）由题意可知：p113，q123，则p213p123×13q1727；q223p123×2313×13q11627故A错误；由题意可知：pn113
故选：BC.
【例题12】【答案】见解析
【解析】（1）由题意可知，X的可能取值为0，1，2，所以PX023×
X
0
1
2
P
8
16
1
X的数学期望是EX0×8271×16272×192227；（2）i由题意可知，a10，a213；（ii）由题意可知，
【例题13】【答案】见解析
【解析】把质点M按向量a0，1移动为事件A，按向量b0，2移动为事件B，（1）到达0，2为事件A发生两次或B发生一次，故P2PAPAPB23×231379，?P3PAPAPAPAPB2
【例题14】【答案】见解析
【解析】（1）P2A12?1212?1212，P
x
1
12
P
3
5
EX41?3812?58116；（3）证明：易得bncn，即bn1cn1，n≥2，n≥2
【例题15】【答案】见解析
【解析】1P2
若第一次，第二次均出现红球，则概率为：12×1316
（2）①设第n1次按下按钮出现红球的概率为：Pn1，n
若第n1次，第n次均出现红球，其概率为：Pn1×13，若第n
②设Pnx4
令1915x35，解得x919，∴Pn919