专题42直线与椭圆
知识必备
1点与椭圆的位置关系
点Px0，y0
x0?2a2
2直线与椭圆的位置关系（相离、相切、相交）
直线l：AxByC=0（A，B不同时为0）与椭圆C：x
判定方式：
法（1）：将直线方程与圆的方程联立成方程组AxByC=0x2a
则有：Δ0?相交；Δ=0?相切；Δ0?相离.
法（2）：若能在直线AxByC=0（A，B不同时为0）上找到一点
注意：法二只能用于判定直线与椭圆相交的情况.
3椭圆中的弦长
（1）椭圆中的弦：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦
（2）两根差公式：若x1，x2
（3）求弦长方法：
法（1）：联立弦所在直线方程与椭圆方程，求出两个交点坐标，再利用两点间距离公式来求.
法（2）：若弦所在直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为x1
则弦长公式为AB=
注意：弦长公式本质是直线上两点间的距离公式，故而直线上两点的距离用弦长公式亦可.
椭圆中过焦点最短的弦长为通径：2b2a
4椭圆中的硬解公式
以焦点在x轴为例，椭圆方程为x2a2y2
消去y得：A
消去x得：A
进一步得以下硬解公式：
（1）判别式公式：Δ
因为4a2b
若A2
若A2
若A2
（2）韦达定理公式：x
（3）弦中点坐标公式：AC
（4）弦长公式：PQ
焦点如果在y轴，那么只需要将a和b互换即可.
典型例题
考点一点与椭圆的位置关系
【例题1】已知椭圆x29y
【例题2】点P2cosα，3sinα
A点P在椭圆C上
B点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关
C点P在椭圆C内
D点P在椭圆C外
【例题3】设点P是椭圆x2a2y2b2=1
A在椭圆内 B在椭圆外
C在椭圆上 D以上都有可能
考点二直线与椭圆的位置关系
【例题4】已知椭圆C：x225y29=1
A（）相交 B相切
C相离 D不确定
【例题5】若直线mxny5=0与圆x2y2
A0 B1
C2 D1或2
【例题6】若直线y=kx2与椭圆x25
【例题7】已知M=x，y∣x22y2=3
【例题8】直线y=kx2和椭圆2x2
【例题9】直线y=x1与椭圆x
【例题10】已知直线l：x0xa2
A若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切
C若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定
【例题11】若直线l：y=12xm与曲线
A22，0?0，22
C2，0?0，2 D0，2
【例题12】若椭圆x2y22=
A66，∞ B
C62，342
【例题13】（1）求过点0，7且与椭圆x
（2）已知一条直线l与椭圆x24y
【例题14】已知椭圆x225y29
【例题15】求椭圆x23y2
考点三弦长问题
【例题16】椭圆x24y
【例题17】已知椭圆C：x
（1）若斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长.
（2）若直线为y=2xm，当m为何值时，直线l被椭圆所截得的弦长为20
【例题18】直线y=kx1被椭圆C：
A3 B52
C2 D5
【例题19】已知椭圆C：x2a2y
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（异于点A）为椭圆C上一个动点，过O作线段AP的垂线l交椭圆C于点E，D，求DEAP