专题20立体几何中的截面问题
知识必备
一有关截面的概念
在立体几何中，用一个平面去截几何体(包括圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥、长方体、正方体等)，此平面与几何体的交集叫做这个几何体的截面，利用平面的性质确定截面形状是解决截面问题的关键.
二截面的画法
1确定截面的主要依据有
(1)平面的四个公理及推论.
(2)直线和平面平行的判定和性质.
(3)两个平面平行的判定和性质.
(4)球的截面的性质.
2作截面的几种方法
(1)直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程.
(2)相交线法(又叫延长线法)：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
(3)平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体的截面的交线.
三正方体中的基本截面类型
典型例题
类型一作截面(相交线法、平行线法)
【例题1】正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，点
【例题2】作出平面PQR与四棱锥ABCDE的截面.
【例题3】如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB
类型二、确定截面的形状
【例题4】用一个平面去截正方体，所得截面不可能是()
A直角三角形 B直角梯形
C正五边形 D正六边形
【例题5】在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别是楼B1B、
A矩形 B三角形
C正方形 D等腰梯形
【例题6】一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，使截面平行于棱VB和AC，则下列关于截面的说法正确的是
A满足条件的截面不存在 B截面是一个梯形
C截面是一个菱形 D截面是一个三角形
类型三、求截面面积
【例题7】如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1
A2 B98
C3 D62
【例题8】已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BC，CC1
【例题9】(2018新课标I)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()
A334 B2
C324 D3
类型四、求截面周长
【例题10】在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，C
A13223 B
C13226 D
【例题11】正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱
A225 B2
C2513 D2
【例题12】如图，ABCDABCD为正方体，任作平面α与对角线
AS为定值，l不为定值 BS不为定值，l为定值
CS与l均为定值 DS与l均不为定值
类型五、截面分体积问题
【例题13】如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为___________
【例题14】如图所示，在四面体VABC木块中，P为△VAC的重心，这点P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四边形，则该截面把木块分成两部分体积之比为___________(填体积小与体积大之比)
【例题15】如图，已知E，F分别是正方体ABCDA1B1C
A716(或167) B717(或17
C516(或165) D617(或17
类型六、其他截面问题
【例题16】如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()
AAC⊥BD BAC//截面PQMN
CACBD D异面直线PM与BD所成的角为45°
【例题17】已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBCBB12，点E在线段C
A0，1， B14，
C12，23
【例题18】已知正三棱锥PABC侧棱长为1，且PA、PB、PC两两垂直，以顶点A为球心，2
【例题19】已知正方体的棱长为4，以该正方体的一个顶点为球心，以42
【例题20】在正方体ABCDA1B1C1D1
A12 B22
C32 D