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专题02勾股定理
（考题猜想，11种高频易错重难点89题专项训练）
题型一：利用勾股定理求线段长（高频）
1．（24-25八年级上·江苏常州·期中）如图，是的角平分线，分别是和的高，若，则．
【答案】13
【分析】根据角的平分线性质定理，得，根据勾股定理得，解答即可．
本题考查了角的平分线性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
根据勾股定理得．
故答案为：13．
2．（23-24八年级下·贵州六盘水·期中）如图，在中，是边上除点外的任意一点，则．
【答案】36
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理；作，根据等腰三角形的性质得再根据勾股定理得，然后结合可得答案．
【详解】解：过点A作于点D，如图，
∵，
∴，
∴，
．
故答案为：36．
3．（24-25八年级上·天津滨海新·期中）如图，三角形纸片中，，在上取一点，以为折痕进行翻折，使的一部分与重合，与延长线上的点重合，若，，则的长度为．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键；先由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，再由折叠的性质可得，，再由含角的直角三角形的性质结合勾股定理得出，进行计算即可得到答案，
【详解】解：在中，，，
，，
，
，
，
由折叠知，，，
在中，，，
，
，
，
，
，
；
故答案为：．
4．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，在中，的平分线交于点D，点E是边的中点，，连接DE，若，则．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的内角和，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质．过点A作于点H，过点B作于点G，设，则，根据等腰三角形的性质得出，则，通过证明，得出，进而得出，最后根据勾股定理得出．
【详解】解：过点A作于点H，过点B作于点G，
∵平分，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为∶．
5．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点D，E，再分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点P，作射线交于点F．已知，，则的长为．
【答案】
【分析】本题考查了作图基本作图：作角平分线，角平分线的性质定理，勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．根据基本作图可判断平分，过F作于G，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，，根据勾股定理得出，求解即可．
【详解】解：过F作于G，
由作图得：平分，，，
∴，
在中根据勾股定理得：，
，，
，
，
设，则，，
在中，根据勾股定理得：
，
即：，
解得：，
，
故答案为：．
6．（24-25八年级上·陕西·期中）如图，某斜拉桥的主梁垂直桥面于点，在主梁上的点拉两条斜拉索，，经测量，，，，求主梁上的点到桥面的高度．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，由勾股定理可得：，，可得，再建立方程求解即可．
【详解】解：∵，
∴．
∴，，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
解得：，
．
∴主梁上的点到桥面的高度．
7．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）如图，在中，，在中，是边上的高，，求的长．
【答案】6
【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积．利用面积法求得斜边的长度，然后在中，利用勾股定理来求线段的长度．
【详解】解：如图，在中，是边上的高，，，
，即，
解得．
又在中，，，
．
线段的长度是6．
8．（24-25八年级上·福建漳州·期中）【背景介绍】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请你用“双求法”解决下面两个问题：
(1)如图2，在中，，是边上的高，，求的长度；
(2)如图3，在中，是边上的高，，设，求的值；
【答案】(1)
(2)9
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
（1）由勾股定理得到，根据等面积法即可求解；
（2）在中，由勾股定理，得，在中，由勾股定理，得，由此列式即可求解．
【详解】（1）解：在中，由勾股定理，得，
∵，
∴，
解得，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
∴，
整理得，，
解得，．
题型二：勾股定理与等腰三角形（高频）
9．（23-24八年级