4.3.4三角形全等的综合应用

【新知探究】全等三角形的判定方法:“SSS”“ASA”“”“”。【例1】如图所示,在△ABC与△ADC中,已知AD=AB。(1)在不添加任何辅助线的前提下,以下条件中,能使△ABC≌△ADC的条件有(填序号),?①DC=BC;②∠D=∠B;③∠DAC=∠BAC;④∠DCA=∠BCA;AAS三角形全等条件的综合应用SAS解:(1)①③

(2)分别对(1)中添加条件的情况证明△ABC≌△ADC,并指出两个三角形全等的判定方法。解:(2)当添加①DC=BC,在△ABC和△ADC中,因为AB=AD,AC=AC,BC=DC,所以△ABC≌△ADC(SSS)。当添加③∠DAC=∠BAC时,在△ABC和△ADC中,因为AB=AD,∠BAC=∠DAC,AC=AC,所以△ABC≌△ADC(SAS)。

【新知巩固】1.(2024金沙期末)如图所示,已知AE=AC,∠C=∠E,下列条件中,无法判定△ABC≌△ADE的是()A.∠B=∠D B.BC=DEC.∠1=∠2 D.AB=ADD

2.(2024九江期末)如图所示,∠ABC=∠BAD,请你添加一个条件: ,使△ABC≌△BAD(只添一个即可)。?BC=AD(答案不唯一)

3.如图所示,点E在AB上,∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠DAB,那么△BCE和△BDE全等吗?请说明理由。解:△BCE≌△BDE,理由如下:在△ACB与△ADB中,因为∠ACB=∠ADB,∠CAB=∠DAB,AB=AB,所以△ACB≌△ADB(AAS)。所以BC=BD,∠ABC=∠ABD。在△BCE与△BDE中,因为BC=BD,∠ABC=∠ABD,BE=BE,所以△BCE≌△BDE(SAS)。

【例2-1】(2024泸县二模)如图(1)所示是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架如图(2)所示,已知AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC,试说明:∠C=∠D。三角形全等判定与性质的综合应用解:因为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC。所以∠BAC=∠EAD。在△BAC和△EAD中,因为AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,所以△BAC≌△EAD(SAS)。所以∠C=∠D。

【例2-2】如图所示,在△ABC中,点D是AC上一点,AD=AB,过点D作DE∥AB,且DE=AC。(1)试说明:△ABC≌△DAE;解:(1)因为DE∥AB,所以∠BAC=∠ADE。在△ABC和△DAE中,因为AB=DA,∠BAC=∠ADE,AC=DE,所以△ABC≌△DAE(SAS)。

(2)若点D是AC的中点,△ABC的面积是20,求△AEC的面积。解:(2)因为△ABC≌△DAE,所以S△ABC=S△DAE=20。因为点D是AC的中点,所以S△AEC=2S△DAE=2×20=40。

【新知巩固】1.如图所示,A,B,C,D是四个村庄,其中B,D,C在一条直线上,BD=DC,且AD⊥BC,村庄A,B之间有一个小湖EF。为方便通行,现要在湖面上建一座桥,测得AE=1.2km,BF=0.7km,AC=4km,则建造的桥长至少为()A.1.1km B.2.1kmC.4km D.5kmB

2.(2024咸阳三模)如图所示,在△ABC中,D为边BC的中点,AB=1,AD=2,延长AD至点E,使得DE=AD,则AC长度可以是()A.4 B.5 C.6 D.7A

3.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E。(1)试说明:BE=CD;解:(1)因为BE⊥CE,AD⊥CE,所以∠E=∠ADC=90°。所以∠EBC+∠BCE=90°。因为∠BCE+∠ACD=90°,所以∠EBC=∠DCA。在△ACD和△CBE中,因为∠ADC=∠E,∠DCA=∠EBC,AC=CB,所以△ACD≌△CBE(AAS)。所以BE=CD。

(2)若AD=12,BE=3,求DE的长。解:(2)因为△ACD≌△CBE,所以AD=CE=12,CD=BE=3。所以DE=CE-CD=12-3=9。

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