3.6直线和圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系有三种:、、.?设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,根据直线和圆相交、相切、相离的定义,容易得到直线和圆?dr;直线和圆?d=r;直线和圆?dr.?2.切线的定义:直线和圆有唯一的公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.探究点一直线和圆的位置关系【新知探究】相交相切相离相交相切相离
[例1-1]圆的半径是7cm,如果圆心与直线上某一点的距离是6.5cm,那么该直线和圆的位置关系是()A.相离 B.相切C.相交 D.相交或相切CB
判断直线和圆的位置关系的步骤(1)求出圆心到直线的距离;(2)比较距离和半径的大小;(3)根据距离和半径的大小关系,判断直线和圆的位置关系.
【新知巩固】1.(2022六盘水)如图所示的是“光盘行动”宣传海报中的图片,图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是()A.相切 B.相交 C.相离 D.平行2.在同一平面内,已知点O到直线l的距离为5,以点O为圆心,r为半径画圆,当r=时,☉O上有且只有3个点到直线l的距离等于3.?B8
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AC=3,圆心O在AB上由点A向点B运动,运动到圆心O与B点重合为止,☉O的半径r=2,BO=m,则m取值范围如何时,☉O与直线BC相交?相切?相离?解:如图所示,当☉O与直线BC相切时,作OD∥AC,交☉O于点D.∵∠C=90°,∠B=30°,BO=m,OD=2,∴BO=2OD,即m=4.即当m为4时,直线BC与☉O相切;若☉O与直线BC相离,则有m4,∵AC=3,∴AB=6,当4m≤6时,☉O与直线BC相离;若☉O与直线CB相交,则有m4,即0≤m4.
切线的性质:圆的切线垂直于过切点的.?[例2-1](2023眉山)如图所示,AB切☉O于点B,连接OA交☉O于点C,BD∥OA交☉O于点D,连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为()A.25° B.35° C.40° D.45°探究点二圆的切线的性质【新知探究】半径C
[例2-2]如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径的圆恰好与AB相切,D为切点,连接BO.求证:BO平分∠ABC.证明:如图所示,连接OD.∵AB与☉O相切,∴∠ODB=90°.在Rt△BDO和Rt△BCO中,∵DO=CO,OB=OB,∴Rt△BDO≌Rt△BCO(HL).∴∠DBO=∠CBO.∴BO平分∠ABC.
【新知巩固】CA
3.(2022怀化)如图所示,AB与☉O相切于点C,AO=3,☉O的半径为2,则AC的长为.?4.如图所示,以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB与小圆相切,点P为切点,大圆、小圆的半径分别为10cm和6cm,则AB的长为.16cm
5.(2022泰安)如图所示,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A,C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=32°,则∠ADO的度数为.?64°
6.如图所示,AB是☉O的直径,AD平分∠BAC交☉O于点D,过点D的切线交AC的延长线于点E.求证:DE⊥AE.证明:如图所示,连接OD.∵DE是☉O的切线,∴OD⊥DE.∴∠ODE=90°.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠DAB.∴∠CAD=∠ADO.∴OD∥AE.∴∠E+∠ODE=180°.∴∠E=90°.∴DE⊥AE.
第2课时切线的判定与三角形的内切圆
过半径且垂直于这条半径的直线是圆的切线.[例1-1]如图所示,在△POM中,点M在☉O上,点P在☉O外,OP交☉O于点N,以下条件不能判定PM是☉O的切线的是()A.OM⊥MP B.∠O+∠P=∠OMPC.OM2+PM2=OP2 D.点N是OP的中点探究点一切线的判定【新知探究】外端D
[例1-2]如图所示,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,过点C的直线交AB的延长线于点D,∠D=60°,∠A=15°.试判断直线CD与☉O的位置关系,并说明理由.解:直线CD与☉O相切.理由如下:如图所示,连接OC,∵∠A=15°,OA=OC,∴∠ACO=∠A=15°.∴∠COD=∠ACO+∠A=30°.∴∠OCD=180°-∠COD-∠D=180°-30°-60°=90°.∴OC⊥CD.∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线.
【新知巩固】1.如图所示,点P为☉O外一点,连接OP,以OP为直径作圆,两圆交于点Q,连接PQ,可判定PQ是☉O的切线,则判定其为切线的依据是()A