第四章三角形-问题解决策略特殊化

【新知探究】如果一般的式子与字母的取值没准确的关系,我们就可以给字母附一个合适的数值来代替字母进行计算或比较,在选择题和填空题中,合理的运用特殊值法可以快速地解决题目。【例1-1】两数m,n在数轴上的对应点如图所示,则下列各式子正确的是()A.mn B.-n|m|C.-m|n| D.|m||n|C利用特殊值法解决代数问题

DC

2.(2024德州期中)有理数a,b在数轴上的对应点如图所示,则下面式子中正确的是()①b0a;②|b||a|;③ab0;④a-ba+b。A.①② B.①④ C.②③ D.②④3.(2024遵义期末)三个有理数a,b,c在数轴上表示的位置如图所示,则化简|a+b|-|c-b|+a的结果是()A.2a+2b B.2a+2b-cC.-c D.-2b-cBC

【新知探究】1.面对一般性的问题时,可以先考虑特殊情形,借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题,这就是特殊化策略。2.特殊问题的解决经验有可能推广到一般性问题的解决中。因此,从特殊情形出发,有助于我们发现解决问题的思路。利用特殊化法解决几何图形问题

【例2】(综合与探究)数学活动课上,同学们利用全等三角形的学习经验,对等腰三角形ABC和△ADE从特殊情形到一般情形进行了如下探究:已知△ABC是等腰三角形,AB=AC。(1)特殊情形:如图(1)所示,当DE∥BC时,试探究DB与EC之间的数量关系;解:(1)因为AB=AC,所以∠B=∠C。又DE∥BC,所以∠ADE=∠B,∠AED=∠C。所以∠ADE=∠AED。所以AD=AE。所以AB-AD=AC-AE,即DB=EC。

(2)发现探究:若将图(1)中的△ADE绕点A顺时针旋转α(0°α≤180°)到图(2)位置,则(1)中的结论还成立吗?若成立,请给予说明:若不成立,请说明理由。解:(2)结论还成立。理由如下:由(1)可知AD=AE,∠DAE=∠BAC,所以∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE,即∠BAD=∠CAE。在△ABD和△ACE中,因为AD=AE,∠BAD=∠CAE,AB=AC,所以△ABD≌△ACE(SAS)。所以DB=EC。

【新知巩固】1.如图所示,将一副三角板叠放在一起,使直角顶点重合于O点,则∠AOC+∠DOB等于()A.180° B.90° C.270° D.150°A

2.如图所示,等腰三角形ABC中,∠C=90°,D是斜边AB的中点,点D又是直角三角形DEF的直角顶点,DFDEAC,△DEF绕点D转动,DE,DF分别与AC,BC交于点M,N,若AC=2,则这两个三角形重叠部分的面积为。?1

3.如图所示,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长都为2,无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积均为(定值)。?1

4.为了解决一些较为复杂的数学问题,我们常常采用从特殊到一般的思想,先从特殊的情形入手,从中找到解决问题的方法。已知:在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠B+∠D=180°。(1)【特例探究】如图(1)所示,当∠B=90°时,猜想CDBC(选填“”“”或“=”)。并说明理由。?解:(1)=理由如下:因为∠B+∠D=180°,∠B=90°,所以∠D=90°。因为AC平分∠BAD,所以∠CAD=∠CAB。又AC=AC,所以△ACD≌△ACB。所以CD=BC。

(2)【问题推广】如图(2)所示,当∠B90°时,试探究CD与BC之间的关系。解:(2)如图所示,过点C作CE⊥BA于点E,过点C作CF⊥AD交AD延长线于点F,因为∠B+∠ADC=180°,∠ADC+∠FDC=180°,所以∠B=∠FDC。由(1)同理可得△ACE≌△ACF。所以CF=CE。在△CFD和△CEB中,因为∠CDF=∠B,∠DFC=∠BEC,CF=CE,所以△CDF≌△CBE(AAS)。所以CD=BC。

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