3.2双曲线
【划重点】
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及其求法
2．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题．
3．掌握双曲线的简单几何性质.
4．理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
5．会判断直线与双曲线的位置关系．
【知识梳理】
知识点一双曲线的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹．
2．定义的集合表示：{M|||MF1|－|MF2||＝2a，02a|F1F2|}．
3．焦点：两个定点F1，F2.
4．焦距：两焦点间的距离，表示为|F1F2|.
知识点二双曲线的标准方程与性质
标准方程
eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)
eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a0，b0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a
y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±eq\f(b,a)x
y＝±eq\f(a,b)x
离心率
e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)，其中c＝eq\r(a2＋b2)
a，b，c间的关系
c2＝a2＋b2(ca0，cb0)
知识点三等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，它的渐近线方程是y＝±x，离心率为eq\r(2).
知识点四直线与双曲线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m(m≠0)，①
双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a0，b0)，②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±eq\f(b,a)时，直线l与双曲线C的渐近线平行，直线与双曲线相交于一点．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±eq\f(b,a)时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ0?直线与双曲线有两个公共点；
Δ＝0?直线与双曲线有一个公共点；
Δ0?直线与双曲线有0个公共点．
知识点五弦长公式
若斜率为k(k≠0)的直线与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝eq\r(?1＋k2?[?x1＋x2?2－4x1x2]).
【例题详解】
双曲线的定义及其应用
例1(1)已知，，动点P满足（a为常数），则下列说法中错误的是（????）
A．时，点P的轨迹是y轴
B．时，点P的轨迹是一条直线
C．或时，点P的轨迹不存在
D．时，点P的轨迹是双曲线
(2)平面内到两个定点的距离之差的绝对值等于的点的轨迹是（????）
A．双曲线 B．两条射线 C．一条线段 D．一条直线
(3)双曲线上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为（）
A．1或21 B．14或36 C．2 D．21
跟踪训练1(1)在平面直角坐标系中，已知点，，动点Р满足，则动点P的轨迹是（????）
A．椭圆 B．抛物线
C．双曲线 D．双曲线的一支
(2)已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为．
二、双曲线的简单几何性质
例2(1)（多选）关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（????）
A．实轴长相等 B．离心率相等
C．焦距相等 D．焦点到渐近线的距离相等
(2)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率及渐近线方程：
=1\*GB3①；
=2\*GB3②；
=3\*GB3③；
=4\*GB3④．
跟踪训练2(1)（多选）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（????）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m=6
C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
(2)求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、渐近线方程．
三、求双曲线的标准方程
例3(1)以直线为渐近线，一个焦点坐标为的双曲线方程是（????）
A． B． C． D．
(2)在双曲线中，虚轴长为6，且双曲线与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程是（????）
A． B．
C． D．
(3)根据下列条件，求双曲线的标准方程：
=1\*GB3①以椭圆短轴的两个端点为焦点，且过点；
=2\*GB3②经过点和．
跟踪训练3(1)顶点距离为6，渐近线方程是的双曲线方程是（????）
A．或 B．或
C． D．
(2)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且与椭圆有相等的焦距，则C的方程为（???）
A． B．
C． D．
四、与双曲线有关的轨迹问题
例4(1)若动点满足关