通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义*第31页，共63页，星期日，2025年，2月5日3、矢量场的散度为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：称为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。*第32页，共63页，星期日，2025年，2月5日柱面坐标系球面坐标系直角坐标系散度的表达式：散度的有关公式：*第33页，共63页，星期日，2025年，2月5日直角坐标系下散度表达式的推导由此可知，穿出前、后两侧面的净通量值为oxy在直角坐标系中计算?·FzzDxDyDP不失一般性，令包围P点的微体积?V为一直平行六面体，如图所示。则*第34页，共63页，星期日，2025年，2月5日根据定义，则得到直角坐标系中的散度表达式为同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P穿出该六面体的净通量为*第35页，共63页，星期日，2025年，2月5日例题：已知求矢量在R≠0处的散度解：根据散度的计算公式*第36页，共63页，星期日，2025年，2月5日4、散度定理（高斯定理）体积的剖分VS1S2en2en1S从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广泛的应用。证明*第37页，共63页，星期日，2025年，2月5日证明：对于闭合面S包围的有限大体积V，可将其按图方式进行分割（dV1、dV2、dV3……），计算每个体积元的小闭合面Si（i＝1，2……）上穿出的通量，然后叠加。*第38页，共63页，星期日，2025年，2月5日1.5矢量场的环流和旋度矢量场的环流与旋涡源不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。*第39页，共63页，星期日，2025年，2月5日如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无旋场，又称为保守场。如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源。电流是磁场的旋涡源。环流的概念矢量场对于闭合曲线C的环流定义为该矢量对闭合曲线C的线积分，即*第40页，共63页，星期日，2025年，2月5日过点M作一微小曲面?S，它的边界曲线记为C，曲面的法线方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当?S?0时，极限称为矢量场在点M处沿方向n的环流面密度。矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。特点：其值与点M处的方向n有关。2、矢量场的旋度（）（1）环流面密度*第41页，共63页，星期日，2025年，2月5日而推导的示意图如图所示。直角坐标系中、、的表达式*第42页，共63页，星期日，2025年，2月5日于是同理可得故得概念：矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法线方向，即物理意义：旋涡源密度矢量。性质：（2）矢量场的旋度*第43页，共63页，星期日，2025年，2月5日旋度的计算公式:直角坐标系圆柱面坐标系球面坐标系*第44页，共63页，星期日，2025年，2月5日旋度的有关公式：矢量场的旋度的散度恒为零标量场的梯度的旋度恒为零*第45页，共63页，星期日，2025年，2月5日第1章矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波第一章矢量分析*第1页，共63页，星期日，2025年，2月5日