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江苏省无锡市第一女子中学2024-2025学年高一下学期4月期中学情调研数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若，则（????）
A． B． C． D．
2．复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限是（????）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．在中，，则（????）
A．4 B． C．3 D．
4．如图所示的中，，斜边，该图是一个平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是（????）
A． B．1 C． D．
5．已知＝（1，－2），则与反方向的单位向量是（????）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
6．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为和的矩形，则它的体积为（????）
A． B． C． D．或
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC一定是（????）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
8．如图，在四边形中，.若为线段上一动点，则的最大值为（????）
????
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，则下列结论正确的是（????）
A． B．
C．向量，的夹角为 D．在方向上的投影是
10．已知复数，，则下列命题正确的有（????）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（????）
A．
B．是钝角三角形
C．的最大内角是最小内角的倍
D．若，则外接圆半径为
三、填空题
12．圆柱的底面半径为3，侧面积为，则圆柱的体积为．
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则△ABC的面积为．
14．、、三点在半径为的圆上运动，且，是圆外一点，，则的最大值是．
四、解答题
15．已知复数
(1)若复数为纯虚数，求实数的值；
(2)已知是关于的方程的一个根，其中，，求的值．
16．如图，在平行四边形ABCD中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)用向量的方法证明：A，F，C三点共线．
17．如图，甲船A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9海里并以20海里/时的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28海里/时的速度航行.
(1)求甲船用多少小时能尽快追上乙船；
(2)设甲船航行的方向为南偏东，求的正弦值.
18．如图，正四棱锥的高，，，为侧棱的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
19．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
在中，内角，，的对边分别是，，，且满足_______，.
(1)若，求.
(2)求周长的最大值.
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《江苏省无锡市第一女子中学2024-2025学年高一下学期4月期中学情调研数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
C
A
A
D
A
C
AC
BC
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得答案.
【详解】已知向量，，
若，则，
解得.
故选：C.
2．D
【分析】先对给定的复数进行化简，再求出其共轭复数，最后根据共轭复数的实部与虚部确定其在复平面内对应的点所在的象限.
【详解】，所以，对应点的坐标为，
故选：D．
3．C
【分析】先求角B，然后由正弦定理可得.
【详解】因为，所以，
由正弦定理得，解得.
故选：C
4．A
【分析】画出原图形，根据原图形与直观图的关系，求出原图形的边长，从而可得出答案.
【详解】解：画出原图形，如图所示，
在中，，，
则，
故在原图形中，
，
所以这个平面图形的面积是.
故选：A.
5．A
【分析】利用相反向量和单位向量的概念求解.
【详解】因为＝（1，－2），
所以与反方向的单位向量是（，），
故选：A
6．D
【分析】分类讨论侧面展开图矩形的长、宽为和、4和6两种情况，结合柱体的体积公式计算即可求解.
【详解】如图，正三棱柱，其侧面展开图为一个矩形，
当矩形长、宽分别为和时，正三棱柱的高为4，底面的边长为2，
此时；
当矩形长、宽分别为4和6时，正三棱柱的高为6，底面的边长为，
此时.
所以正三棱柱的体积为或.
故