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第05讲一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01TOC\o1-3\h\u考情解码?命题预警 2
02体系构建·思维可视 3
03核心突破·靶向攻坚 3
知能解码 3
知识点1一元二次不等式 3
知识点2简单分式不等式 5
知识点3绝对值不等式 5
知识点4高次不等式 5
题型破译 6
题型1解不含参数的一元二次不等式 6
题型2解分式不等式、高次不等式 7
题型3解绝对值不等式 9
题型4解含参数的一元二次不等式 10
【方法技巧】分类讨论技巧
题型5由一元二次不等式的解集求参数 14
题型6由一元二次不等式解集中的整数个数求参数 15
题型7一元二次不等式的实际问题 18
题型8一元二次不等式的恒（能）成立问题 20
【方法技巧】恒（能）成立的处理方法
题型9一元二次方程根的分布问题 23
04真题溯源?考向感知 26
05课本典例·高考素材 27
考点要求
考察形式
2025年
2024年
2023年
（1）会从实际生活或数学问题中抽象出一元二次不等式模型；
（2）能结合二次函数图象，判断一元二次方程根的个数，并依据图象特征求解一元二次不等式；
（3）掌握分式不等式和绝对值不等式的基本解法
?单选题
?多选题
?填空题
?解答题
上海卷T2（4分）
天津卷T15（5分）
/
全国I卷T1（5分）
考情分析：
新高考卷中，该专题属于基础核心考点，常与集合运算、函数定义域、导数求单调区间等综合考查，单独命题较少。命题侧重对“三个二次”关系的理解，强调通过函数图像分析根的分布及不等式解集。备考需重点掌握分式与绝对值不等式转化技巧，以及恒成立问题中参数范围的求解策略。
复习目标：
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系；
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义；
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集，类比求解高次不等式、分式不等式和绝对值不等式
知识点1一元二次不等式
1．三个“二次”之间的关系
判别式
的图象
一元二次方程的根
有两相异实根
有两相等实根
没有实数根
一元二次不等式
的解集
解集为
一元二次不等式的解集
2．不等式恒成立问题
（1）恒成立的充要条件是：或
（2）恒成立的充要条件是：或
自主检测1．不等式的解集为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】原不等式即为，即，解得，
故原不等式的解集为.
故选：A.
2．若命题“，”是假命题，则实数的取值范围是
【答案】
【详解】因为命题“，”是假命题，
所以其否定“，”是真命题，
即在上恒成立，所以,解得.
故答案为：
知识点2简单分式不等式
（1）；（2）
（3）左移，通分变成（1）；（4）左移，通分变成（2）
自主检测不等式的解集为．
【答案】
【详解】原不等式转化为，解得，
则其解集为.
故答案为：.
知识点3绝对值不等式
1．绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
2．和型不等式的解法
（1）；
（2）.
3．和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.
自主检测已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意，集合，所以.
故选：A
知识点4高次不等式
1．高次不等式的概念
不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.
2．穿根引线法的步骤：
①将最高次项系数化为正数；
②将分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；
③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；
④观察曲线显现出的的值的符号变化规律，写出不等式的解集．
自主检测（多选）下列结论正确的是（????）
A．不等式的解集为或
B．不等式的解集为或
C．不等式的解集为或
D．不等式的解集为或
【答案】AD
【详解】由得，解得或，
由得，即，解得或，
故选：AD
题型1解不含参数的一元二次不等式
例1-1已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为集合，，所以.
故选：C．
例1-2已知集合，，则（?