第三章数系的扩充与复数的引入
3.1.1数系的扩充和复数的概念
【学习目标】
1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数单位i;
2.了解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律;
3.了解并掌握复数的有关概念（复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部）理解并掌握复数相等的有关概念．
【新知自学】
知识回顾：
1.数系的扩充历程：
(1)在自然数集内引入负数,扩充到___________;
(2)在整数集内引入分数,扩充到_____________;
(3)在有理数集内引入无理数,扩充到_________．
2.在实数集内方程x2＋1＝0的解的问题该如何解决？
数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1．由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位，并由此产生了复数．
新知梳理：
1.虚数单位i:
（1）它的平方等于_________，即i2＝－1；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有______________仍然成立．
2.复数的定义：形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，叫复数的_______，叫复数的_______．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示．
3.复数a＋bi（a，b∈R）的分类：
（1）当_______________时，复数a＋bi（a，b∈R）为实数；
（2）当_______________时，复数a＋bi（a，b∈R）为0；
（3）当_______________时，复数a＋bi（a，b∈R）为虚数；
（4）当_______________时，复数a＋bi（a，b∈R）为纯虚数.
4.复数集与其他数集之间的关系：____________．
5.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．
这就是说，如果a，b，c，d∈R，那么a＋bi＝c＋dia＝c，b＝d．
对点练习：
1.写出复数4，2－3i，0，i，5＋2i，6i的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？
2.下列说法中正确的是()
A.方程没有根
B.纯虚数和虚数构成实数集合
C.实数集合由虚数与复数构成
D.实数是复数
3.已的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（）
A.B.
C.D.
4.如果(x+y)+(y1)i=(2x+3y)+(2y+1)i，求实数x,y的值.
【合作探究】
典例精析：
例1.实数m取什么数值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是：
（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
变式练习：
实数m取什么数值时，复数z＝m2＋m－2＋(m2－1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？
例2.已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，其中x，y∈R，求x与y．
变式练习：
若(2x2－3x－2)＋(x2－5x+6)i＝0，求x的值．
规律总结：
1.对于复数z=a＋bi，只有在a，b∈R时，a，b才能分别是复数的实部和虚部，并注意虚部是b，而非bi；
2.只有两个实数才可以比较大小，对于两个虚数，或者一个虚数一个实数都不能比较大小；
3.在两复数相等以及复数的分类中，要首先明确实部和虚部.
【课堂小结】
【当堂达标】
1.设集合C=｛复数｝，A=｛实数｝，B=｛纯虚数｝，若全集S=C，则下列结论正确的是()
A.A∪B=C B.A=B
C.A∩B= D.B∪B=C
2.若是纯虚数，则实数的值为（）
A.1B.1C.2D.1或1
3.若实数满足求xy的值.
4.复数
，当时，求的值.
【课时作业】
1.复数的实部是，虚部是，模为.
2．已知复数且，则.
3.已知集合M=｛1，2，(m2－3m－1)+(m2－5m－6)i｝，集合P=｛－1，3｝.M∩P=｛3｝，则实数m的值为()
A.－1B.－1或4C.6D.6或－1
4．若复数是虚部为正数的纯虚数，求实数x的值.
5．若，求实数的值.
6.已知m∈R，复数z=+(m2+2m－3)i，当m为何值时，
(1)z∈R;(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z=+4i.
7.如果，求自然数m，n的值.