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几何最值问题探究
(类型一：线段和最值→将军饮马）
1.如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5.若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为(????)
A.10 B.8 C.53
2.如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为______．
(类型二：单线段最值→垂线段最短)
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，P为斜边AB上一动点，过点P分别作PE/?/BC交AC于点E，作PF/?/AC交BC于点F.则EF的最小值为______．
(类型三：费马点最值问题)
4.法国数学家费马提出：在△ABC内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马点，此时PA+PB+PC的值为费马距离．经研究发现：在锐角△ABC中，费马点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，如图，点P为锐角△ABC的费马点，且PA=3，PC=4，∠ABC=60°，则费马距离为______．
5.定义：若P为△ABC内一点，且满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．
(1)如图1，若点O是等边△ABC的费马点，且OA+OB+OC=18，则这个等边三角形的高的长度为??????????；
(2)如图2，已知△ABC，分别以AB、AC为边向外作等边△ABD与等边△ACE，线段CD、BE交于点P，连接AP，求证：点P是△ABC的费马点；
(3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求．
(类型四：数形结合)
6.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题．
求代数式x2
解题思路：如图，C为线段BD上一动点，分别过B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC.已知AB=1，DE=2，BD=4.设BC=x，则AC=x
(1)上述x2
(2)用几何构图法求代数式x2
(3)用几何构图法解方程9?x2
(类型五：逆等线问题)
7.综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景．探究动点运动的几何问题．如图，在△ABC中，点M，N分别为AB，AC上的动点(不含端点)，且AN=BM．
【初步尝试】(1)如图1，当△ABC为等边三角形时，小颜发现：将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD，连接BD，则MN=DB，请思考并证明；
【类比探究】(2)小梁尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥MN于点E，交BC于点F，将MA绕点M逆时针旋转90°得到MD，连接DA，DB.试猜想四边形AFBD的形状，并说明理由；
【拓展延伸】(3)孙老师提出新的探究方向：如图3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，连接BN，CM，请直接写出BN+CM的最小值．
(类型六：隐问题圆)
8.【学习心得】学习完《圆》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型．
(1)①类型一，“定点+定长”.如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一点，且AD=AC，求∠BDC的度数．
解：若以点A(定点)为圆心，AB(定长)为半径作辅助⊙A(请你在图1上画圆)，则点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°.(填写具体数值)
②类型二，“定角+定弦”.如图2，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP的长的最小值．
解：∵∠ABC=90°．
∴∠ABP+∠PBC=90°．
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=______，(定角)
∴点P在以AB(定弦)为直径的⊙O上.易求得CP的长的最小值为______．
【问题解决】
(2)如图3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上的一动点(点P不与点B，C重合)，连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC的最小值为______．
【问题拓展】
(3)如图4，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，连接AE，DF，交于点P．
①请你写出AE与DF的数量