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北京市大兴区第一中学2025届高三下学期高考适应性测试（三模）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
2．下列函数中，在区间上单调递减的是（????）
A． B． C． D．
3．设，若，则（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知，则的值为（???）
A．15 B． C． D．
5．已知点是准线为的抛物线上一动点，于点，点，则的最小值是（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知函数，则函数的最小正周期为（???）
A． B． C． D．
7．随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：，）（????）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
8．已知数列为无穷等比数列，为其前项和，“存在，对于任意的，”是“存在，对于任意的”的（???）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图，在羡除中，底面是正方形，∥平面，，其余棱长都为，则这个几何体的体积为（????）
A． B． C． D．
10．已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（????）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．若复数是纯虚数，则．
12．过点的直线与圆相交于，两点，则的最小值为．
13．已知函数，若对任意都成立，则满足条件的一个实数的值是.
14．设为双曲线的左、右焦点，且直线为双曲线的一条渐近线，点为上一点，如果，那么双曲线的方程为．
15．已知是各项均为正数的无穷数列，其前项和为，且给出下列四个结论：
①；
②各项中的最大值为2；
③，使得；
④，都有.
其中所有正确结论的序号是.
三、解答题
16．在中，．
(1)求；
(2)若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求a的值．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17．如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点．
(1)求证：；
(2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值．
18．某地区教育研究部门为了解当前本地区中小学教师在教育教学中运用人工智能的态度、经验、困难等情况，从该地区2000名中小学教师中随机抽取100名进行了访谈．在整理访谈结果的过程中，统计他们对“人工智能助力教学”作用的认识，得到的部分数据如下表所示：
假设用频率估计概率，且每位教师对“人工智能助力教学”作用的认识相互独立．
(1)估计该地区中小学教师中认为人工智能对于教学“没有帮助”的人数；
(2)对受访教师关于“人工智能助力教学”的观点进行赋分：“没有帮助”记0分，“有一些帮助”记2分，“很有帮助”记4分．
①从该地区男教师中抽取4名教师，求这4名教师得分总和为8分的概率；
②统计受访教师的得分，将这100名教师得分的平均值记为，其中年龄在40岁以下（含40岁）教师得分的平均值记为，年龄在40岁以上教师得分的平均值记为，请直接写出的大小关系．（结论不要求证明）
19．已知椭圆经过点，且右顶点为．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过点的直线与椭圆交于不同两点B，C（均不是椭圆顶点），直线AB，AC分别与直线OP交于点M、N，求证：．
20．已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为．
(1)求的值；
(2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且.
21．给定正整数k，m，其中，如果有限数列同时满足下列两个条件．则称为数列．记数列的项数的最小值为．
条件①：的每一项都属于集合；
条件②：从集合中任取m个不同的数排成一列，得到的数列都是的子列．
注：从中选取第项、第项、…、第项（）形成的新数列称为的一个子列．
(1)分别判断下面两个数列，是否为数列．并说明理由！
数列；
数列．
(2)求的值；
(3)求证．
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