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重难点培优03函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性的高级应用
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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 4
题型一奇偶性中的参数、图像、求值问题（★★★★★） 4
题型二单调性综合奇偶性解不等式与比较大小（★★★★★） 8
题型三周期性及其应用（★★★★★） 12
题型四对称性Ⅰ—轴对称（★★★★★） 17
题型五对称性Ⅱ—中心对称（★★★★★） 20
题型六对称性结合周期性（★★★★★） 24
题型七类周期性（★★★★） 28
题型八函数性质的综合应用（★★★★★） 33
题型九导函数与原函数的对称性（★★★★） 39
03实战检测?分层突破验成效 44
检测Ⅰ组重难知识巩固 44
检测Ⅱ组创新能力提升 62
1、单调性技巧
（1）几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：=1\*GB3①函数或函数．
=2\*GB3②函数．
=3\*GB3③函数或函数
=4\*GB3④函数或函数．
注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．
偶函数：=1\*GB3①函数．
=2\*GB3②函数．
=3\*GB3③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
题型一奇偶性中的参数、图像、求值问题
【技巧通法·提分快招】
1、奇偶函数的性质
（1）偶函数?f(－x)＝f(x)?关于y轴对称?对称区间的单调性相反；
（2）奇函数?f(－x)＝－f(x)?关于原点对称?对称区间的单调性相同；
2、奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
（2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常见奇偶性函数模型
奇函数：=1\*GB3①函数或函数．=2\*GB3②函数．
=3\*GB3③函数或函数
=4\*GB3④函数或函数．
注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．
偶函数：=1\*GB3①函数．=2\*GB3②函数．=3\*GB3③函数类型的一切函数．
3、已知奇函数，，则
（1）
（2）
1．（24-25高三下·重庆·月考）已知函数（为常数），则（???）
A．，为偶函数
B．，为奇函数
C．，为既奇又偶函数
D．，为非奇非偶函数
【答案】B
【分析】由函数奇偶性的性质，定义域关于原点对称可求得,进而判断函数的奇偶性.
【详解】根据题意，，有，即，若存在奇偶性，
则定义域对称，必然有，即，
此时，则，则为奇函数.
故选：B．
2．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B.
【详解】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D.
当