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重难点培优02抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、奇偶性（对称）、周期性的应用
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TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 3
题型一抽象函数的定义域（★★★） 3
题型二抽象函数的求值问题（★★★★） 5
题型三抽象函数的解析式（★★★★） 7
题型四抽象函数的奇偶性（★★★） 13
题型五抽象函数的单调性（定义法）（★★★） 11
题型六抽象函数的周期性（★★★★★） 19
题型七抽象函数的对称性（★★★★★） 23
03实战检测?分层突破验成效 27
检测Ⅰ组重难知识巩固 27
检测Ⅱ组创新能力提升 39
【注意：本专题以赋值法为主干去破解相关难题，掌握模型可以快速解题】
1、常见的抽象函数模型
【反比例函数模型】
反比例函数：，则，
【一次函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则为奇函数；
模型3：若则；
模型4：若则；
【指数函数模型】
模型1：若，则；
模型2：若，则；
模型3：若，则；
模型4：若，则；
【对数函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
模型3：若，则
模型4：若，则
模型5：若，则
【幂函数模型】
模型1：若，则
模型2：若，则
代入则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数?，与其对应的抽象函数为
注：?此抽象函数对应于正弦平方差公式：
【余弦函数模型】
对于余弦型函数?，涉及2种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若，则
【正切函数模型】
模型：若，则
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“”；
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
题型一抽象函数的定义域
【技巧通法·提分快招】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示.
1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据求解即可
【详解】∵的定义域为，∴，由，得，则函数的定义域为
故选：A.
2．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】已知抽象复合函数定义域求原函数定义域.
【详解】令，则，故，
所以的定义域为.
故选：C
3．（24-25高三下·湖南长沙·月考）已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（???）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】D
【分析】令，求得，得到的定义域为，再结合函数图象变换，得到与函数的值域相同，即可得到答案.
【详解】由函数的定义域和值域分别为和，可得和，
令，解得，所以函数的定义域为，
又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象，
所以函数与函数的值域相同，即.
故选：D.
4．若函数的定义域为，则函数的定义域为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由的定义域得到，即可求出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，
所以，
即，解得，
即的定义域是.
故选：A.
5．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数的定义域为，则有，
令，解得.
故答案为：.
6．（24-25高三上·湖南邵阳·月考）已知函数的定义域是，则函数的定义域为．
【答案】.
【分析】由条件求出函数解析式中的范围，列出使得有意义的不等式，解不等式可得结论.
【详解】因为函数的定义域是，
所以，故，
因为有意义，
所以，所以，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
题型二抽象函数的求值问题
【技巧通法·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x是常见的赋值手段，或者是代入……，，……等特殊值求解；
1．若对任意的，函数满足，则（????）
A．6 B．4 C．2 D．0
【答案】D
【分析】利用赋值法即可求解.
【详解】令，则，解得，
令，则，故，
故选：D
2．函数定义域为，对任意，都有，又，