PAGE1/NUMPAGES1
重难点培优01复合函数及嵌套函数的应用
目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）
TOC\o1-2\h\u01知识重构?重难梳理固根基 1
02题型精研?技巧通法提能力 3
题型一复合函数的单调性及参数问题（★★★★★） 3
题型二复合函数的最值（值域）及参数问题（★★★★） 5
题型三复合函数的奇偶性及参数问题（★★★★） 9
题型四与复合函数有关的不等式问题（★★★★★） 12
题型五内外自复合型f(f(x))的零点问题（★★★★） 15
题型六内外双函数复合型f(g(x))的零点问题（★★★★） 22
题型七二次型因式分解型af(x)2+bf(x)+c的零点问题（★★★
03实战检测?分层突破验成效 30
检测Ⅰ组重难知识巩固 30
检测Ⅱ组创新能力提升 47
1、复合函数定义：两个或两个以上的基本初等函数经过嵌套式复合成一个函数叫做复合函数。
复合函数形式：，令：，则转化为其中叫作中间变量.叫作内层函数，叫作外层函数.
2、求复合函数单调性的步骤：
①确定函数的定义域
②将复合函数分解成两个基本函数分解成
③分别确定这两个函数在定义域的单调性
④再利用复合函数的”同增异减”来确定复合函数的单调性。
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
3、常见奇偶性函数模型
奇函数：=1\*GB3①函数或函数．
=2\*GB3②函数．
=3\*GB3③函数或函数
=4\*GB3④函数或函数．
注意：关于=1\*GB3①式，可以写成函数或函数．
偶函数：=1\*GB3①函数．
=2\*GB3②函数．
=3\*GB3③函数类型的一切函数．
④常数函数
4、奇偶性技巧
（1）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
（2）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
（3）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
（4）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
（5）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
题型一复合函数的单调性及参数问题
【技巧通法·提分快招】
在上的单调性如下表所示，简记为“同增异减”
增
增
增
增
减
减
1．（23-24高三上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间是（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得的定义域，利用复合函数的单调性，结合二次函数单调性可得答案.
【详解】函数中，，解得，
又的开口向下，对称轴方程为，
函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数的单调递减区间是.
故选：A
2．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可.
【详解】解：由已知得，解得或，函数的定义域为，
因为总为增函数，要求函数的单调递增区间，
由同增异减可得即求函数在上的增区间
由二次函数的性质可得在上的增区间为，
故函数的单调递增区间是.
故选：A.
3．（23-24高三下·甘肃·开学考试）函数的单调递减区间是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据余弦函数的单调性及复合函数的性质，列式解得答案.
【详解】，
由题意单调递减，且，
则，解得，，
所以的单调递减区间是.
故选：D.
4．（2025·广东茂名·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解即可.
【详解】由，可得或，
即函数的定义域为，
又因为在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，
由复合函数的单调性可知在区间上单调递增，
.
故选：D.
5．（24-25高三上·河南·期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用复合函数的单调性法则求解即可.
【详解】函数在上单调递增，
而函数在区间上单调递增，
则有函数在区间上恒为正数且单调递增，
因此，
解得，
实数的取值